8.2.1. Равномерное и равнопеременное вращение

Если угловая скорость постоянна (ω = const), то вращение называется равномерным, при этом угловое перемещение тела

или . (8.5)

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n, об/мин.

Существует зависимость между n и ω. При одном обороте тело поворачивается на угол 2π, а при n оборотах − на 2πn; этот поворот делается за t = 1мин = 60 с. Из равенства (8.5) следует, что

. (8.6)

Если угловое ускорение тела постоянно (ε = const), то вращение называется равнопеременным. Найдём закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t₀ = 0 угол φ₀ = 0, а угловая скорость ω = ω₀ (ω₀ – начальная угловая скорость).

Из формулы (8.4) имеем dω = εdt. Интегрируя левую часть от ω₀ до ω, а правую часть – в пределах от 0 до t, найдём:

. (8.7)

Представим данное выражение в виде

или .

Вторично интегрируя, найдём закон равномерного вращения:

. (8.8)

Угловая скорость этого вращения определяется формулой (8.7). Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные – равнозамедленным.

8.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рассмотрим какую-нибудь точку М твёрдого тела, находящуюся на расстоянии ρ от оси вращения Az (см. рис. 8.2). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса ρ, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. За время dt произойдёт элементарный поворот тела на угол dφ, а точка М совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет равна

. (8.9)

Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют линейной или окружной скоростью точки М.

Т аким образом, линейная скорость точки вращающегося твёрдого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности или перпендикулярно к плоскости II, проходящей через ось вращения и точку М.

Т ак как для всех точек тела угловая скорость ω имеет в данный момент одно и то же значение, то из формулы (8.9) следует, что линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям ρ от оси вращения (рис. 8.4).

Для определения ускорения точки М воспользуемся формулами:

, .

Подставляя значение v из равенства (8.9), получим

. (8.10)

Касательное (тангенциальное) ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение всегда направлено по радиусу ρ к оси вращения (рис. 8.4).

Полное ускорение точки М равно

. (8.11)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который находят по формуле

. (8.12)

Из формул (8.11) и (8.12) следует, что ускорения всех точек вращающегося твёрдого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей.

Формулы (8.9)…(8.12) позволяют определять скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения.

Простейшими движениями твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.

Изучение поступательного движения точки сводится к задаче кинематики точки.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение. Вращение твёрдого тела может быть равномерным и равнопеременным, равноускоренным и равнозамедленным.

Линейные скорости и ускорения всех точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Линейные скорости образуют прямой угол с радиусом описываемой окружности, а ускорения − некоторый угол, определяемый формулой (8.12).

Задачи для самостоятельного решения

З адача № 8.1. (Рис. 8.5). При вращении кривошипа OA = О₁В = 0,16 м угол φ изменяется по закону φ = π t. Определить радиус r кривизны траектории точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м.

(Ответ: r = 0,16 м).

Задача № 8.2. (Рис. 8.5). При вращении кривошипа OA = О₁В = 0,10 м угол φ изменяется по закону φ = 2π t. Определить скорость v_D точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м. (Ответ: v_D = 0,63 м/с).

Задача № 8.3. (Рис. 8.5). При вращении кривошипа OA = О₁В = 0,10 м угол φ изменяется по закону φ = 4π t. Определить ускорение а_D точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м. (Ответ: а_D = 15,8 м/с²).

Задача № 8.4. (Рис. 8.6). Квадратная пластина ABCD совершает поступательное движение в плоскости Оху. Определить ускорение а_С точки С, если известно, что нормальное ускорение точки А, а касательное ускорение точки В . (Ответ: а_с = 5 м/с²).

Задача № 8.5. При равномерном вращении маховик делает 4 оборота в секунду. За сколько секунд маховик повернется на угол φ = 24 π? (Ответ: 3 с).

Задача № 8.6. Угловая скорость тела изменяется согласно закону ω = -8t. Определить угол φ поворота тела в момент времени t = 3 с, если при t₀ = 0 угол поворота φ₀ = 5 рад. (Ответ: φ = -31 рад.).

Задача № 8.7. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону

φ = t³ + 2. Определить угловую скорость ω тела в момент времени, когда угол поворота φ = 10 рад. (Ответ: ω = 12 с^-1).

Задача № 8.8. Частота вращения маховика за время t₁ = 10 с уменьшилась в 3 раза и стала равной 30 об/мин. Определить угловое ускорение ε вала, если он вращался равнозамедленно. (Ответ: ε = - 0,628 с^-2).

Задача № 8.9. Угловое ускорение тела изменяется согласно закону ε = 2t. Определить угловую скорость ω тела в момент времени t = 4 с, если при t₀ = 0 угловая скорость равна нулю. (Ответ: ω = 16 с^-1).

Задача № 8.10. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону

φ = 2t². Определить нормальное ускорение точки тела на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения в момент времени t= 2 с. (Ответ: = 12,8 м/с²).

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему, определяющую свойства поступательного движения.

2. Что называют вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси?

3. Ось вращения, угол поворота и закон вращательного движения твёрдого тела.

4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении твёрдого тела.

5. Равномерное и равнопеременное вращение. Угловое перемещение.

6. Чему равна линейная скорость точки вращающегося тела?

7. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Окружная скорость.

8. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки вращающегося тела.