7.2.2. Координатный способ
П
ри
координатном способе задания закона
движения точки необходимо знать положение
точки М
(рис. 7.2)
в пространстве в каждый момент времени,
т. е. надо задать координаты точки x,
y, z как функции
времени.
В декартовой системе координат Оxyz закон движения точки задаётся в виде уравнений движения точки:
.
(7.2)
Уравнения (7.2) в параметрическом виде задают траекторию движения. Если из (7.2) исключить параметр t, то можно получить саму траекторию.
При движении точки на плоскости координата z равна нулю, и мы получим только два уравнения движения:
.
(7.3)
При прямолинейном движении точки, например, вдоль оси x, получим только одно уравнение движения
,
(7.4)
которое будет совпадать в этом случае с законом движения при естественном способе задания движения точки.
7.2.3. Переход от координатного способа задания движения
к естественному
Если движение задано уравнениями (7.2) или (7.3), то с их помощью можно определить траекторию точки. Известно, что
или
,
откуда,
считая, что при
расстояние
,
получим
,
(7.5)
где
и т. д.
Равенство (7.5) после вычисления интеграла даёт закон движения вдоль траектории в виде (7.1). В случае, когда движение задаётся уравнениями (7.3), в формуле (7.5) не будет члена с производной от z, т. е.
.
(7.6)
Уравнение (7.6) описывает движение точки на плоскости.
7.3. Скорость точки
Быстроту движения точки в пространстве характеризует векторная величина, называемая скоростью. Определение её зависит от способа задания движения.
7 .3.1. Естественный способ задания движения
Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной к траектории в сторону движения (рис. 7.3). Модуль скорости определяется как производная от функции по времени, т. е.
.
(7.7)
При
движение происходит в сторону
положительного отсчёта расстояний; при
точка не движется; при
движение происходит в сторону
отрицательного отсчёта расстояний.
Размерность скорости – м/с.
Произвольная кривая имеет переменную кривизну, которая характеризует степень искривлённости (изогнутости) кривой. Так, окружность имеет постоянную кривизну, которую измеряют величиной К, обратной радиусу:
.
(7.8)
Чем больше радиус, тем меньше кривизна, и наоборот.
В каждой точке кривой можно выбрать окружность радиусом ρ, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке М. Величина ρ называется радиусом кривизны в данной точке кривой.
Ось t, направленная по касательной в сторону движения, и ось n, направленная по радиусу к центру кривизны и называемая нормалью, образуют естественные оси координат.
7.3.2. Координатный способ задания движения
При координатном способе задания движения скорость точки находят, продифференцировав по времени уравнения движения (7.2) по осям координат:
.
(7.9)
Модуль и направление вектора скорости определяется по правилу геометрического сложения:
.
(7.10)
Для плоского движения определяют две составляющие: vx и vy.