3.4. Приведение системы пар к простейшему виду.

Равновесие системы пар

Пусть дана система п пар (F₁, F'₁), (F₂, F'₂),…, (F_п, F'_п), как угодно расположенных в пространстве, моменты которых равны М₁, М₂,…, М_п. На основании теоремы 3 первые две пары можно заменить одной парой (R₁, R₁') с моментом М*₂:

М*₂= М₁+ М₂.

Полученную пару (R₁, R₁') сложим с парой (F₃, F'₃), тогда получим новую пару (R₂, R₂') с моментом М*₃:

М*₃= М*₂+ М₃= М₁+ М₂+ М₃.

Продолжая и дальше последовательное сложение моментов пар, мы получим последнюю результирующую пару (R, R') с моментом

М= М₁+М₂+…+М_п=ΣМ_k. (3.18)

Итак, система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар.

Теперь легко решить вторую задачу статики, т.е. найти условия равновесия тела, на которое действует система пар. Для того, чтобы система пар была эквивалентна нулю, т.е. приводилась к двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был р авен нулю. Тогда из формулы (3.18) получим следующее условие равновесия в векторном виде:

М₁+М₂+М₃+ …+М_п=0. (3.19)

В проекциях на координатные оси уравнение (3.19) дает три скалярных уравнения.

Условие равновесия (3.19) упрощается, когда все пары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и поэтому уравнение (3.19) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть это будет ось z.

Тогда из уравнения (3.19) получим:

М_1z+М_2z+ …+М_пz=0. (3.20)

При этом ясно, что М_z=М, если вращение пары видно с положительного направления оси z против хода часовой стрелки, и М_z=-М при противоположном направлении вращения.

З адача 3.2. Один конец балки длиной l укреплен в неподвижной шарнирной опоре А, а второй ее конец В опирается на гладкую наклонную плоскость, составляющую с балкой угол . На балку действует пара сил с моментом, равным М. Пренебрегая весом балки, определить реакции опор.

Решение. Действие опор заменим реакциями. Реакция гладкой поверхности R_В направлена по нормали к поверхности. Так как балка находится в равновесии, то система сил, действующих на балку, эквивалентна нулю. Но активная пара сил с моментом М может быть уравновешена только парой сил. Следовательно, реакция R_А неподвижной опоры А вместе с реакцией плоскости R_В должны составлять пару сил. Модули реакций найдутся из условия равенства модулей моментов пар:

М=М (R_А, R_В),

или

М= R_А·h,

где h=l·cos – плечо пары. Отсюда

R_А= R_В=М/( l·cosa).

Глава 4. Основная теорема статики и условия равновесия

пространственной системы сил

4.1. Лемма о параллельном переносе силы

Докажем лемму:

С ила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила F. Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F' и F", эквивалентную нулю, причем выбираем F'= F (следовательно, F"= – F). Тогда сила F=(F, F', F"), так как (F', F")=0.

Но, с другой стороны, система сил (F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна F' и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен

М=М(F, F")=ВА×F,

т.е. равен моменту силы F относительно точки В

М=М_В(F).

Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.