5.3. Задачи на применение уравнений равновесия
Задача 5.2. Однородная гладкая балка
АВ весом
,
закрепленная в точке А при помощи
шарнира, опирается в точке С на
стену. В точке В подвешен груз
.
Определить опорные реакции в точках А
и С, если балка составляет с горизонтом
угол
,
м
и
м.
Решение. Образуем силовую схему,
заменив действие связей их реакциями.
Реакция в точке А не известна ни по
величине, ни по направлению, поэтому
будем искать эту реакцию через ее
проекции
и
;
реакция в точке С направлена
перпендикулярно балке.
Уравнения равновесия напишем в форме (5.16):
,
,
;
отсюда находим
кН,
кН,
кН.
Задача 5.3. Ферма опирается на
неподвижный шарнир А и каток В,
который может без трения перемещаться
по наклонной плоскости. Определить
реакции опор А и В, если к ферме
приложены силы
и
.
Решение. Заменяя действие опор реакциями, составим силовую схему. Уравнения равновесия возьмем в форме (5.17). В качестве точек, относительно которых составляются уравнения моментов, выберем точки А, В и С. Уравнения равновесия при этом будут
,
,
;
отсюда находим
кН,
кН,
кН.
Задача 5.4. К балке приложены:
сосредоточенная сила
кН
и равномерно распределенная нагрузка
интенсивности
кН/м.
Угол
,
м,
м,
м.
Вес балки
.
Определить реакции опор.
Решение. Действие опор на балку заменяем
реакциями
,
и
,
а распределенную нагрузку – ее
равнодействующей
,
приложенной в середине отрезка DB.
Уравнения равновесия имеют вид
,
,
.
Решая эти уравнения, получаем
кН,
кН,
кН.
Задача 5.5. К однородной балке, вес
которой равен
и
длина
,
в точке В приложена сила
.
Определить реакции в месте заделки.
Решение. Заменяем заделку ее реакциями. Условия равновесия будут
,
;
отсюда имеем
,
,
.
5.4. Задачи на равновесие системы тел
Рассмотрим задачу
о нахождении опорных реакций трехшарнирной
арки, которая состоит из двух частей, М
и N,
имеющих шарнирные опоры А
и В
и соединенных между собой идеальным
шарниром С.
Если рассматривать эту систему тел как
одно твердое тело (аксиома 5), то будем
иметь дело с четырьмя неизвестными
,
,
,
(проекции опорных реакций в точках А
и В).
Тем не менее эта задача статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела М и N, соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет равно шести – по три уравнения для каждого тела. Действие тела M на тело N может быть заменено такой же по Модулю, но противоположно направленной (аксиома 4).
Рассмотрим
равновесие каждого тела в отдельности.
На рис. указаны силы, приложенные к телам
М
и N,
причем силы
и
представляют собой составляющие силы,
заменяющие собой действие тела
N
на тело М,
а
,
– составляющие силы, заменяющие действие
тела М
на тело N.
Для каждого тела мы можем составить по три уравнения равновесия, т.е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже будет шесть, так как в силу аксиомы 4
,
.
Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела М, а остальные три – для системы тел М и N, принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела N и уравнения равновесия для системы тел М и N, как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи.
Задача 5.6. Два однородных стержня
одинаковой длины соединены шарнирно в
точке С и шарнирно закреплены в
точках А и В. Вес каждого стержня
равен Р. В точке С к системе
стержней подвешен груз Q.
Расстояние
.
Расстояние от точки С до горизонтальной
прямой АВ равно b.
Определить реакции шарниров А и
В.
Решение. Заменяя действие опор реакциями, рассмотрим сначала равновесие этой системы в целом. Уравнения равновесия в этом случае будут
,
,
.
Из этих уравнений находим
,
.
Д
ля
нахождения
рассмотрим
теперь равновесие левого стержня. Сумма
моментов всех сил, приложенных к левому
стержню, относительно С должна быть
равна нулю, т.е.
;
отсюда
.
Задача 5.7. Определить опорные реакции
системы, состоящей из двух балок,
сочлененных идеальным шарниром, если
кН,
кН,
м.
Конец А балки АС защемлен, конец
В балки СВ закреплен в катковой
опоре.
Решение. Рассмотрим равновесие каждой
балки в отдельности. Мы получаем два
твердых тела, на которые действуют
реакции внешних связей
,
,
,
и попарно равные силы взаимодействия
,
.
Таким образом общее число неизвестных
равно шести.
Запишем уравнения равновесия в форме (5.16) для левой балки:
,
,
;
для правой балки:
,
,
.
На основании аксиомы 4 (третьего закона
Ньютона) модули сил
и
,
а также сил
и
равны между собой, т.е.
и
.
Учитывая эти равенства и решая затем
полученную систему уравнений, находим
,
,
кН,
кН,
.