- •Статика
- •Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
- •1.1. Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела
- •1.2. Аксиомы статики и их следствия
- •1.3. Активные силы и реакции связей
- •1.4. Основные задачи статики
- •Глава II. Система сходящихся сил
- •2.1. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей
- •2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •Глава III. Теория пар
- •3.1. Сложение двух параллельных сил
- •3.2. Момент силы относительно точки и относительно оси.
- •3.3. Теоремы о парах
- •3.4. Приведение системы пар к простейшему виду.
- •Глава 4. Основная теорема статики и условия равновесия
- •4.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •4.2. Основная теорема статики
- •4.3. Аналитическое определение главного вектора
- •4.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •Глава 5. Плоская система сил
- •5.1. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
- •5.2. Условия равновесия плоской системы сил
- •5.3. Задачи на применение уравнений равновесия
- •5.4. Задачи на равновесие системы тел
- •5.5. Условия равновесия частично закрепленного тела
- •5.6. Определение натяжения тяжелой подвешенной нити
- •Глава 6
- •6.1. Равновесие тела при наличии трения скольжения
- •6.2. Равновесие тела при наличии трения качения
- •Глава 7
- •7.1. Статические инварианты. Динамический винт
- •7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •7.3. Уравнения равновесия пространственной системы сил
- •Глава 8
- •8.1. Центр параллельных сил
- •8.2. Центр тяжести
- •8.3. Методы нахождения центра тяжести
- •8.4. Центры тяжести простейших фигур
4.4. Условия равновесия пространственной системы сил
Обратимся ко второй задаче статики и установим условия, при которых пространственная система сил эквивалентна нулю, т.е. условия ее равновесия. Докажем теорему.
Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.
Достаточность этих условий вытекает из того, что при FО=0 система сходящихся сил, приложенных в центре приведения О, эквивалентна нулю, а при МО=0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.
Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил Q и Р должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство Q= –Р. Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т.е. если h=0. А это означает, что главный момент равен нулю (МО=0). Далее, так как Q+Р=0, а Q = FО+ Р', то FО+ Р'+Р=0, и следовательно, FО=0.
Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид
FО =0, МО =0 (4.15) или в проекциях на координатные оси,
(4.16)
(4.17)
Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) и (4.17) определить шесть неизвестных величин.
Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей. Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил (F1, F'1) приводится к равнодействующей R, приложенной к какой-либо точке А тела. Тогда эта сила и сила R' (R'= – R), приложенная к точке А, эквивалентны нулю. На основании только что д оказанного главный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку А, тогда главный момент МА≠0 и равен моменту пары (F1, F'1); главный вектор тоже не равен нулю (FА=R'≠0). Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.
Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).
1. Равновесие пространственной системы параллельных сил.
Н аправим ось z параллельно линиям действия сил. Тогда проекция сил Fk на оси х и у равны нулю (Fkх≡0, Fkу≡0) и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):
FОz= Σ Fkz= F1z + F2z+ … + Fпz=0. (4.18)
Во второй группе уравнений (4.17) последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси z (МОz(Fk)≡0), и остаются только уравнения:
МОх =∑МОх(Fk)=МОх(F1)+ МОх(F2)+ … + МОх(Fп)=0, (4.19)
МОу =∑МОу(Fk)=МОу(F1)+ МОу(F2)+ … + МОу(Fп)=0.
2. Равновесие плоской системы сил.
Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:
FОх= Σ Fkх= F1х+ F2х+ … + Fпх=0,
FОz= Σ Fkz= F1z + F2z+ … + Fпz=0. (4.20)
Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями х и у. Остается только третье уравнение:
МОz =∑МОz(Fk)=МОz(F1)+ МОz(F2)+ … + МОz(Fп)=0. (4.21)
3. Равновесие плоской системы параллельных сил.
Условие равновесия для этого частного случая следует из уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось у параллельно линиям действия сил.
Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:
FОу= ∑Fkу= F1у + F2у+ … + Fпу=0,
МОz= ∑МОz(Fk)=МОz(F1)+ МОz(F2)+ … + МОz(Fп)=0. (4.22)
Напомним, что при составлении уравнений равновесия за центр приведения может быть выбрана любая точка.