- •Статика
- •Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
- •1.1. Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела
- •1.2. Аксиомы статики и их следствия
- •1.3. Активные силы и реакции связей
- •1.4. Основные задачи статики
- •Глава II. Система сходящихся сил
- •2.1. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей
- •2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •Глава III. Теория пар
- •3.1. Сложение двух параллельных сил
- •3.2. Момент силы относительно точки и относительно оси.
- •3.3. Теоремы о парах
- •3.4. Приведение системы пар к простейшему виду.
- •Глава 4. Основная теорема статики и условия равновесия
- •4.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •4.2. Основная теорема статики
- •4.3. Аналитическое определение главного вектора
- •4.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •Глава 5. Плоская система сил
- •5.1. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
- •5.2. Условия равновесия плоской системы сил
- •5.3. Задачи на применение уравнений равновесия
- •5.4. Задачи на равновесие системы тел
- •5.5. Условия равновесия частично закрепленного тела
- •5.6. Определение натяжения тяжелой подвешенной нити
- •Глава 6
- •6.1. Равновесие тела при наличии трения скольжения
- •6.2. Равновесие тела при наличии трения качения
- •Глава 7
- •7.1. Статические инварианты. Динамический винт
- •7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •7.3. Уравнения равновесия пространственной системы сил
- •Глава 8
- •8.1. Центр параллельных сил
- •8.2. Центр тяжести
- •8.3. Методы нахождения центра тяжести
- •8.4. Центры тяжести простейших фигур
5.5. Условия равновесия частично закрепленного тела
В некоторых случаях приходится рассматривать равновесие частично закрепленных тел, т.е. тел, на которые наложены связи, допускающие некоторое перемещение тела. Очевидно, что при произвольной системе активных сил , приложенных к телу, равновесия не будет. Однако возможны и такие случаи, когда равновесие имеет место. Выясним условия, которым должны удовлетворять активные силы, чтобы тело находилось в равновесии. Прежде всего остановимся на случае твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения; к телу приложена система активных сил, , расположенная в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Ось вращения служит связью для рассматриваемого тела; согласно принципу освобождаемости действие связей заменяем реакцией , приложенной к точке А (предполагаем, что трение отсутствует).
Направление реакции зависит от характера приложенных к телу сил . Напишем уравнения равновесия в форме (5.18):
,
,
.
Из первых двух уравнений можно найти обе составляющие реакции . В последнее уравнение не входит. Это уравнение устанавливает зависимость межу активными силами, необходимую для равновесия тела.
Таким образом, для рассматриваемого случая активные силы должны удовлетворять одному уравнению
. (5.21)
Обратимся теперь ко второму примеру, где связью служит стержень. Направление реакции совпадает с осью стержня. Выбирая систему координат Вху, как указано на рис., имеем следующие уравнения равновесия:
,
,
.
Первое уравнение служит для определения реакции . Два других уравнения накладывают определенные требования на систему активных сил. Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы активные силы в данном случае удовлетворяли двум условиям:
, . (5.22)
Последнее уравнение записано для точки тела В понятно, что его можно видоизменить, записав его для любой точки оси х.
5.6. Определение натяжения тяжелой подвешенной нити
З адача об определении натяжения в подвешенной тяжелой нити связана с проблемой прочности тросов или проводов линий электропередачи. Будем считать, что нить идеально гибкая и нерастяжимая и что провисание нити происходит только из-за различия между ее длиной L и расстоянием между опорами l.
Обозначим через q линейный удельный вес нити. Для пологой кривой можно принять, что вес равномерно распределен не по кривой АОВ, а по ее проекции АВ. Таким образом, общий вес нити будем считать равным ql.
В соответствии с аксиомой 5 можно рассматривать условия равновесия любой части нити. Рассмотрим, например, правую половину нити; действующие на нее силы изображены на рис. Заметим, что натяжение в любом сечении нити направлено по касательной к кривой в соответствующем месте (как это следует из предположения об идеальной гибкости нити). Поэтому в нижней точке нити О, принятой за начало координатной системы, натяжение горизонтально. Обозначив через f стрелу провеса (т.е. расстояние по вертикали между нижней точкой и опорами), запишем уравнение моментов относительно точки В
.
Здесь представляет собой вес половины нити. Из этого уравнения находим
; (5.23)
отсюда, между прочим, ясно, что чем меньше стрела провеса нити f, тем больше натяжение .
Из двух уравнений для проекций сил на оси можно найти составляющие натяжения нити в точке В
, ,
а затем и полное натяжение в точке В
.
Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и мы можем воспользоваться приближенной формулой
,
достаточной для таких малых значений . Тогда будет
. (5.24)
Этот результат определяет наибольшее натяжение нити, которое, впрочем, мало отличается от наименьшего натяжения .
Для вычисления и Т по найденным формулам необходимо знать стрелу провеса f, а для этого требуется располагать уравнением кривой, по которой провиснет нить. С этой целью рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой х. Для этой части можно написать следующие уравнения равновесия (для проекций сил на оси х и у):
Здесь – вес рассматриваемой части нити, – натяжение на правом конце этой части.
Из первого уравнения можно заключить, что с удалением от нижней точки, т.е. с увеличением угла , натяжение нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.
Исключив из этих уравнений , получим с учетом формулы (5.23)
,
но , и мы приходим к дифференциальному уравнению, определяющему форму нити в положении равновесия:
. (5.25) Интегрируя его, получаем
.
Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при ; отсюда следует
.
Таким образом, приближенно установлено, что тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы*. Теперь можно выразить стрелу провеса f через L и l. Для этого запишем известное из курса математического анализа выражение длины дуги
и заметим, что для пологой нити. Поэтому . Тогда будем иметь
. Подставляя сюда выражение (5.25), находим
;
отсюда получаем
. (5.26)
Задача 5.8. Определить наибольшее и наименьшее натяжение нити, если вес единицы длины составляет 10 кН, длина пролета м, а полная длина нити м.
Решение. Прежде всего по формуле (5.26) находим
м.
Наименьшее натяжение нити (в нижней части) определяется по формуле (5.23):
кН.
Наибольшее натяжение (в точках подвеса) находим по формуле (5.24):
кН.