- •Статика
- •Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
- •1.1. Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела
- •1.2. Аксиомы статики и их следствия
- •1.3. Активные силы и реакции связей
- •1.4. Основные задачи статики
- •Глава II. Система сходящихся сил
- •2.1. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей
- •2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •Глава III. Теория пар
- •3.1. Сложение двух параллельных сил
- •3.2. Момент силы относительно точки и относительно оси.
- •3.3. Теоремы о парах
- •3.4. Приведение системы пар к простейшему виду.
- •Глава 4. Основная теорема статики и условия равновесия
- •4.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •4.2. Основная теорема статики
- •4.3. Аналитическое определение главного вектора
- •4.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •Глава 5. Плоская система сил
- •5.1. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
- •5.2. Условия равновесия плоской системы сил
- •5.3. Задачи на применение уравнений равновесия
- •5.4. Задачи на равновесие системы тел
- •5.5. Условия равновесия частично закрепленного тела
- •5.6. Определение натяжения тяжелой подвешенной нити
- •Глава 6
- •6.1. Равновесие тела при наличии трения скольжения
- •6.2. Равновесие тела при наличии трения качения
- •Глава 7
- •7.1. Статические инварианты. Динамический винт
- •7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •7.3. Уравнения равновесия пространственной системы сил
- •Глава 8
- •8.1. Центр параллельных сил
- •8.2. Центр тяжести
- •8.3. Методы нахождения центра тяжести
- •8.4. Центры тяжести простейших фигур
4.2. Основная теорема статики
Введем определения. Пусть дана произвольная система сил (F1, F2, F3, … ,Fn). Сумму этих сил
F=Σ Fk
называют главным вектором системы сил.
Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения) называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.
Пользуясь теперь леммой о параллельном переносе силы, докажем следующую основную теорему статики (теорема Пуансо):
Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.
Следовательно, основная теорема статики устанавливает закон эквивалентной замены произвольной системы сил более простой системой, состоящей из одной силы и одной пары.
Пусть О – центр приведения, принимаемый за начало координат, r1, r2, r3, … , rn – соответствующие радиусы-векторы приложения сил F1, F2, F3, … , Fn, составляющих данную систему сил. Прежде всего перенесем силы F1, F2, F3, … ,Fn в точку О, а затем сложим эти силы как сходящиеся; в результате получим одну силу:
F0=F1+F2+…+Fn=Σ Fk,
которая равна главному вектору. Но при последовательном переносе сил F1, F2, F3, … ,Fn в точку О мы получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1, F1"), (F2, F2"), … , (Fn, Fn").
Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О:
М1=М(F1, F1")=r1×F1=МО(F1),
М2=М(F2, F2")=r2×F2=МО(F2),
………………………………….
Мп=М(Fn, Fn")=rn × Fn =МО(Fn). (4.1)
На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т.е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18)
МО=М1+М2+ … +Мn = МО(F1)+ МО(F2)+ … + МО(Fn)=
= Σ МО(Fk)=Σ rk× Fk.
Итак, систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой
FО=Σ Fk (4.2)
и парой сил с моментом
МО= Σ МО(Fk)=Σ rk× Fk. (4.3)
Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение и что их можно найти только с помощью вычислений. Очень часто отдельно действующие на тело силы нельзя определить даже опытным путем, в то время как главный момент и главный вектор находятся сравнительно просто. Поясним это примером. Рассмотрим вал, находящийся в подшипниках скольжения. При вращении вала на точки его поверхности действуют со стороны подшипника силы трения. Число точек контакта и модули сил трения, как правило, не известны. Не всегда их можно определить и с помощью эксперимента, однако простым измерением находится сумма моментов всех сил трения относительно оси вращения, т.е. главный момент сил трения.
По тем же соображениям момент силы и момент пары сил также не следует рассматривать как формальные величины, введенные для удобства доказательства. В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент.