1.2. Параллельное проецирование

Пусть задана в пространстве плоскость Р и вектор . Через произвольно расположенные в пространстве точки А, В, С, D,…, N проводятся линии, параллельные вектору . Эти линии пересекают плоскость Р в точках a, b, c, d,…, n. (рис.3)

Параллельной проекцией точки называют точку пересечения проектирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекции. [4]

В параллельных проекциях:

• каждая точка и линия в пространстве имеют на плоскости проекций единственную свою проекцию;

• каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией бесконечного множества точек в пространстве (см. рис.3).

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проектирования составляет с плоскостью проек-

ции острый угол; во втором случае проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекции.

В машиностроении наиболее широко применяется параллельное прямоугольное проецирование или ортогональное проецирование. [6, 7]

1.3. Ортогональное проецирование

Ортогональное проецирование представляет собой частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекции.

Основные свойства ортогонального проецирования:

1. Для построения проекции прямой достаточно спроектировать две ее точки и через полученные проекции точек провести прямую линию (рис. 4).

2. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой.

3. Отрезок прямой линии, параллельный плоскости проекций, проектируется на эту плоскость в натуральную свою величину (линия mn – см. рис.4).

4. Проекции двух параллельных прямых параллельны между собой.

Ортогональное проецирование, изложенное как метод, появилось в 1799 г. в труде французского ученого Монжа и впоследствии получило название метод Монжа.[3,4].

Метод предусматривает проектирование геометрических объектов на взаимно – перпендикулярные плоскости проекций.

2. Расположение геометрических объектов в октантах пространства

Три взаимно – перпендикулярные плоскости проекций делят пространство на восемь октантов. (рис.5).

Каждый из восьми октантов представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями служат части плоскостей проекции, а ребрами – оси координат.

В машиностроении вместо изображения на рис. 5 пространственного макета пользуются эпюром – чертежом, составленным из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрического объекта.

При изображении точек геометрических объектов в пространстве и на эпюре используются обозначения [2].

1. обозначения плоскостей проекций:

Н – горизонтальная плоскость проекции;

V – фронтальная плоскость проекции;

W – профильная плоскость проекции;

2. Точки в пространстве обозначаются прописными буквами латинского алфавита.

3. Проекции точек обозначаются строчными буквами:

a – проекция на плоскость H;

a’ - проекция на плоскость V;

a’’ - проекция на плоскость W.

Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей W и Н с плоскостью V путем вращения плоскости Н вокруг оси ОХ и плоскости W – вокруг оси ОZ (см.рис.5).

Эпюр точки, расположенной в различных октантах

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (X,Y,Z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.[3]

Из рис.5 видно, что точка, расположенная в первом октанте, будет иметь положительными все три координаты.

Для построения эпюр точки А, расположенной в первом октанте, необходимо спроецировать точку на плоскости Н, Y, W, совместить плоскости Н и W с плоскостью V, определить значение Qx, Qy и построить a, a’ , a’’ .

При совмещении плоскостей H и W ось у преобразуется в две оси: y_H и y_W. Ось у_Н принадлежит плоскости Н, ось y_W - плоскости W.[2]

На рис.6,а показан эпюр точки А, расположенной в первом октанте.

Рассматривается построение эпюр точки В, расположенной во втором октанте. Вначале определяется проекция точки на неподвижную плоскость V – в^| (рис. 6,б). Проекция точки В на плоскость Н будет располагаться выше оси Х, поскольку плоскость совместится с плоскостью V. Определяется проекция точки на ось у_Н – в_Н , затем проекция точки на ось y_W - b_W . Положение точек b’ и b_w определяет проекцию точки b’’ (см.рис.6,б).

На рис. 7 приведены эпюр точек, расположенных в третьем, четвертом, пятом, шестом, седьмом и восьмом октантах.