8. Пересечение поверхностей

Понятия и определения.

Общим способом построения линии пересечения поверхностей является нахождение точек этой линии при помощи некоторых секущих плоскостей или поверхностей. При этом вспомогательные секущие плоскости (или поверхности) следует выбирать, так чтобы в сечение получились либо окружности , либо прямые. Это позволяет упростить построения, необходимые для нахождения точек линии пересечения поверхностей. [2,7]

Построение линии пересечения поверхностей может быть выполнено:

1. С помощью плоскостей, параллельных одной из плоскостей проекций;

2. С помощью пучка плоскостей;

3. С помощью параллельных плоскостей общего положения;

4. С помощью вспомогательных цилиндрических поверхностей;

5. С помощью вспомогательных конических поверхностей;

6. С помощью вспомогательных сферических поверхностей;

7. Комбинированный способ – сочетание любых из перечисленных выше способов.

1. Построение линии пересечения поверхностей с помощью плоскостей, параллельных одной из плоскостей проекций

Рассматривается пример построения линии пересечения конуса с цилиндром (рис.76).

В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираются плоскости Q_1, Q₂ …….Q_n ; параллельные плоскости Н. Располагать горизонтальные следы плоскостей целесообразно в промежутке от точки 1’ до основания поверхностей, разделив этот промежуток на П – равных частей.

В рассматриваемом примере выбраны плоскости Q_1, Q_2, Q₃ и Q₄.

Плоскость Q₁ пересекает конус по окружности с радиусом R₁, цилиндр – по окружности с радиусом r , совпадающий с основанием цилиндра.

На горизонтальной проекции строится окружность с радиусом R, и определяются точки пересечения ее с основанием цилиндра – точки 2,3.

Аналогично определяются точки 4,5; 6,7; 8,9; 10,11, представляющие точки пересечения окружности с радиусом R₂, R₃, R₄ с окружностью радиуса r .

Очевидно, точки 2-3 располагаются в плоскости Q₁ , поэтому эти точки проецируются на фронтальный след плоскости Q₁ – точки 2’ –3’.

Определяются фронтальные проекции точек 4  11, путем проецирования точек на соответствующие следы плоскостей Q₂ .

Находятся профильные проекции точек 1 –11 и по ним строятся линия пересечения поверхностей – профильная проекция.

Фронтальная проекция линии пересечения поверхностей строится по точкам 1’ –11’. Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей совпадает с основанием цилиндра.

2. Построение линии пересечения поверхностей с помощью пучка

плоскостей

Способ применяется для построения линии пересечения конических поверхностей, оси которых представляют линии общего положения, а также для построения линии пересечения конической или цилиндрической поверхностей с поверхностью пирамиды или призмы.

Рассматривает пример построения линии пересечения двух конусов, оси которых представляют линии общего положения (рис.77).

Через вершины S₁ и S₂ конусов проводится линия S₁ - S₂ и находится след ее пересечения с плоскостью Н - точка N.

Через линию S₁ - S₂ проводится пучок плоскостей Q_i. Эти плоскости пересекают поверхности  и  по образующим. Пересечение соответствующих образующих определяют точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.

Построение линии пересечения поверхностей выполняется в следующем порядке:

Через точку n проводится след Q_1н касательно к основанию конуса . Эта линия касается основания поверхности  в точке 1 и пересекает основание поверхности  в точках 2 и 3 (см.рис.77).

Через точки 1,2,3 проводятся образующие поверхностей  и  и определяются точки пересечения – точки m и n.

Строится фронтальная проекция образующей S₁-1 и на нее проецируются точки m, n – точки m’, n’.

Через точку n проводится след Q_2H касательно к основанию конуса . Эта линия коснется основания в точке 4 и пересекает основание конуса  в точках 5, 6.

Через точки 4, 5, 6 проводятся образующие поверхностей  и  и определяются их точки пересечения – k, t.

Строится фронтальная проекция образующей S₂ – 4 и на нее проецируются точки k, t – точки k’, t’.

Через точку n проводится след Q_3H. Эта линия пересекает основание конуса  в точках 7, 8 и основание конуса  – в точках 9, 10.

Через точки 7, 8, 9, 10 проводятся образующие поверхностей  и  и определяются их точки пересечения c, d, q, h.

Строятся фронтальные проекции образующих S₂ – 7 и S₂ – 8 и на них проецируются точки c, d, q, h – точки c’, d’, q’, h’.

Дополнительные точки линии пересечения поверхностей  и  возможно получить с помощью вспомогательных плоскостей Q_i способом, приведенным в пунктах 6  8. Горизонтальные проекции следов Q_iH следует располагать в промежутке между следами Q_1H и Q_2H.

На горизонтальной и фронтальной проекциях точки M, N, K, T, C, D, Q, H соединяются плавной линией.

Таким образом, в результате построений получают проекции линии пересечения конусов  и .