7.2 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом ребер

Рассматривается пример построения линии пересечения пирамиды плоскостью общего положения Р (рис. 73 а).

Через ребро SC проводится горизонтально – проектирующая плоскость Q и определяется линия пересечения плоскостей P и Q – линия 1 –2.

На фронтальной проекции определяется точка пересечения линии 1 - 2 с ребром SC - точка m (см. рис 73 а).

Через ребро sb проводится проектирующая плоскость S и определяется линия пересечения плоскостей S и Р – линия 3 – 4. Находится точка пересечения линии 3 - 4 с ребром sb - точка n.

Через ребро sa проводится фронтально – проектирующая плоскость R и строится линия пересечения плоскостей R и Р – линия 5 – 6. Определяется точка пересечения линии 5 - 6 с ребром sa – точка К.

На горизонтальной и фронтальной проекциях точки KMN соединяются прямыми. В результате построения получают проекции сечения пирамиды плоскостью.

Развертка пирамиды выполняется способом прямоугольников. Вначале определяются натуральные размеры ребер пирамиды способом плоско – параллельного перемещения: точка S перемещается параллельно оси Х в положение S₁ (см. рис. 72 а). Прямая SA разворачивается вокруг точки S₁ до положения, когда она станет параллельной оси Х – положение s₁a₁. Аналогично определяются положения ребер s₁b₁ и s₁c₁.

Определяются фронтальные проекции точек SABC - s₁, a₁, b₁, c₁. Соединив вершину s₁ с точкой основания пирамиды, получают натуральные величины ребер s₁ a₁, s₁ b₁, s₁ c₁.

На полученные линии проектируются точки k, n, m - k₁, n_1, m₁.

Развертка пирамиды выполняется путем последовательного построения ее граней, совмещенных с плоскостью проекции:

Проводится базовая линия. На ней отмечаются точки S и А. Размер отрезка SA снимается с фронтальной проекции - s₁ a₁.

Строится грань SAB – из точки S радиусом R₁ = s₁ b₁ строится дуга окружности. Из точки А радиусом r₁ = sa наносится вторая дуга окружности. Пересечение двух дуг окружностей определяет положение точки В.

К ребру BS присоединяется грань SBC. Построение точки С с помощью радиусов R₂ = s₁ c₁ и r₂ = sc аналогично предыдущему примеру.

К ребру SA присоединяется грань SAC. К линии АВ присоединяется основание пирамиды АВС. Натуральные величины сторон основания снимаются с горизонтальной проекции фигуры.

На ребрах пирамиды наносятся точки M, N, K, используя натуральные величины отрезков s₁ k₁, s₁ n₁, s₁ m₁.

7.3 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом перемены плоскостей проекций

Рассматривается пример построения сечения конуса плоскостью общего положения Р (рис. 74).

Производится перемена плоскости V:

На следе P_H выбирается произвольно расположенная точка q и через нее проводится новая ось Х₁ перпендикулярно следу P_H. Строится след P_V1 способом, описанным в предыдущем примере.

Определяется новая проекция вершины конуса – точка s₁ (см. рис. 74) и строится новая фронтальная проекция конуса.

Из рис 74 видно, что в системе H, V₁ плоскость Р преобразуется в фронтально - проектирующую плоскость. Эта плоскость пересекает образующие конуса в точках c₁ d₁. Линия c₁ d₁ является большой осью эллипса. Разделив отрезок c₁ d₁ пополам, получают центр эллипса – точку о₁.

Строятся горизонтальная и фронтальная проекции большой оси эллипса: через вершину S проводится фронтально – проектирующая плоскость Q и определяется линия пересечения плоскостей Р и Q – TH. На след Q_H проецируются точки о₁, c₁, d₁ – точки о, с, d.

Определяются проекции малой оси эллипса: через точку о₁ проводится линия 1 – 2, параллельная оси Х₁. Из точки S производятся засечки радиусом R = 1-2 на линии о - о₁ – точки с, f.

Через точку о проводится линия, параллельная оси Х. На эту линию проецируются точки с, f – точки с, f.

Таким образом, в результате выполненных построений получены проекции большой и малой оси эллипса.

Строятся дополнительные точки сечения конуса плоскостью: на новой фронтальной проекции проводится линия, параллельная оси Х₁ на произвольном размере – линия 3 – 4. Эта линия пересекает след P_V1 в точке к₁(l₁). Через точку к₁ проводится линия, параллельная следу Р_Н. На этой линии производятся засечки радиусом R = 3 – 4 из центра S – точки l, k.

На фронтальной проекции проводится линия, параллельная оси Х на размере, равном расстоянию от точки к₁ до оси Х₁. . а эту линию проецируются точки k, l – точки к, l.

Аналогично строятся проекции точек M, N сечения и др.

На фронтальной проекции сечение конуса плоскостью представляет видимую и невидимую (пунктирную) линии. С целью определения граничных точек через вершину S конуса проводится горизонтально – проектирующая плоскость S и определяется линия пересечения плоскостей P и S – фронталь, проведенная через точку u. Эта линия пересекает сечение в точках a и b, являющихся граничными точками видимой линии сечения.

Строится натуральная величина сечения конуса плоскостью:

В системе координат Oxy на оси Ох откладывается большая ось эллипса с центром в точке О, на оси Оу – малая ось эллипса – линии CD и EF.

Проводится окружность с центром в точке О и радиусом R = OC и окружность радиусом r = OE.

Через начало системы О проводятся лучи под углом 30 - линии 0 –1, 0 – 2 и т. д. Эти лучи пересекают окружность с радиусом R в точках 1, 2, … 12 и окружность с радиусом r в точках 1, 2, … 12. Через точки 1, 2, … 12 проводятся линии, параллельные Oy, через точки 1, 2, … 12 - параллельные Ох. Пересечение этих линий определяют точки эллипса.

Рассматривается пример построения развертки конуса с нанесением линии пересечения поверхности плоскостью (рис. 75).

Основание конуса разбивается на n равных частей. В рассматриваемом примере основание разделено на 8 равных частей. Строятся фронтальные проекции восьми образующих s - 1… s -8 с фронтальной проекцией сечения – точки a, b, … n. Эти точки переносятся (параллельно оси х) на образующие s - 1 и s -5 - точки A, B, … N. (см. рис. 75 а).

Полученные таким образом отрезки S - A₁, S -A₂ … S - N представляют натуральные величины расстояний от вершины конуса S до точек пересечения образующих конуса с сечением.

На рис. 75 б показан пример построения развертки конуса.

Выбирается произвольно расположенная точка S и проводятся две базовые образующие S – 1 и S - 1 под углом , который определяется по формуле

 = (r /L)  360,

где r – радиус основания конуса, L – длина его образующей.

Проводится дуга окружности радиусом, равным длине образующей L, с центром в точке S. Угол  делится пополам и проводится образующая S – 5 под углом  2 к образующей S – 1.

Прямая 1 – 5 делится пополам. Через середину отрезка проводится образующая S – 3. Аналогично строится образующая S –7.

Отрезки 1 – 3, 3 –5, 5 – 7, 7 - 1 делятся пополам и через середины отрезков проводятся образующие S – 2, S – 4, S – 6, S – 8.

На соответствующих образующих наносятся точки А₁, А₂ … С₂. Полученные точки на развертке поверхности соединяются плавной линией. В результате получают линию пересечения поверхности конуса с плоскостью Р.