5.8. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Полуплоскости P₁ и Q₁ (рис. 56) образуют двугранный угол.

Из геометрии известно, что за меру двугранного угла принимают величину его линейного угла ( АВС, см. рис. 56).

Пример. Заданы следы плоскостей Р и Q. Требуется определить проекции угла между плоскостями (рис. 57).

Решение: Определяется линия пересечения плоскостей Р и Q (линия MN, см. рис. 57). Строится вспомогательная плоскость S, перпендикулярная линии MN: точка S_X выбирается произвольно, след S_V проводится перпендикулярно линии m’n’, след S_H – перпендикулярно линии mn.

Определяется линия пересечения плоскостей Р и S (линия AD, см. рис. 57).

Находится точка пересечения линий KD и MN – точка В.

Определяется точка “С”, расположенная на линии пересечения плоскостей Q и S.

Точки b и c, b’ и c’ соединяются прямыми.

В результате построения получают две проекции угла АВС - abc и a’b’c’.

6. Способы преобразований ортогональных проекций

Понятия и определения.

К способам преобразований ортогональных проекций относятся способы вращения, совмещения и перемены плоскостей проекций.

Сущность способов заключается в том, что они дают возможность переходить от общих положений геометрических объектов относительно плоскостей проекции к частным положениям.

Достигается это:

1. Изменением положения геометрического объекта путем вращения его вокруг некоторой оси так, чтобы объект оказался в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций – способ вращения, или частный случай - способ совмещения.

Заменой системы плоскостей проекций новой системой так, чтобы геометрический объект, не изменяя своего положения в пространстве, оказался в каком – либо частном положении относительно новой системе плоскостей проекций – способ перемены плоскостей проекций. [2,7]

6..1. Способ вращения

Пусть, например, необходимо определить натуральную величину отрезка АВ способом вращения (рис.58,а)

Через точку а’ проводится ось ПМ перпендикулярно плоскости Н. При вращении прямой АВ вокруг оси вращения точка А будет неподвижной, а точка В будет описывать окружность. Поскольку плоскость вращения точки В перпендикулярна оси АМ, то на горизонтальной проекции траекторией движения будет окружность с центром в точке а и радиусом R = ab. На фронтальной проекции траекторией движения точки В будет являться линия, проведенная через точку ' параллельно оси Х (см.рис.58,а).

На горизонтальной проекции прямая ab поворачивается вокруг точки a до положения, когда она будет параллельна оси Х (прямая ab₁- см.рис.58).

Точка b₁ проецируется на линию, проведенную через точку b’ параллельно оси Х – точка b’₁ . Новое положение прямой АВ – a’ b₁ определяет натуральную величину отрезка АВ.

На рис. 58,б показано определение натуральной величины отрезка СD вращением вокруг оси DN, перпендикулярной плоскости V.

Пример1. Заданы плоскости Р и Q следами. Требуется определить угол наклона плоскости Р к плоскости Н и плоскости Q к плоскости V (рис. 59).

Решение: Определяется натуральная величина угла , составленного плоскостями Р и Н:

Выбирается ось вращения m’n’, перпендикулярная плоскости Н и расположенная в плоскости V (см.рис.59,а).

Из точки n’ опускается перпендикуляр на след Рн. Точка К – основание перпендикуляра.

След Рн поворачивается вокруг точки  n’ до положения, когда между осью Х и следом образуется угол 90° (точка К₁).

Точка m’ расположена на следе Рv. Очевидно, при вращении плоскости Р вокруг оси m’n’ точка m’ будет неподвижной. Она и определит положение следа Рv₁ совместно с точкой К₁ (Рх).

В результате выполненных преобразований получили фронтально – проектирующую плоскость Р₁. Угол образованный следом Рv₁ и осью Х представляет натуральную величину угла наклона плоскости Р к плоскости Н (угол ° , см.рис.59,а).

Определяется угол, образованный плоскостями Q и V. Ось вращения плоскости располагается в плоскости Н перпендикулярно плоскости V (ось ab – см.рис.59,б).

След Qv поворачивается вокруг точки а до положения, когда между следом и осью Х образуется угол 90°. В результате получают новое положение следа - Q_v1.

След Q_H1 определяется положением неподвижной точки “в” расположенной на следе Qн и точкой С₁.

Из рис.59,б видно, что после преобразования плоскость Q стала горизонтально – проектирующей плоскостью. Угол, образованный следом Q_H1 и осью Х является натуральной величиной угла наклона плоскости Q к плоскости V.

Пример2. Заданы проекции треугольника АВС. Требуется определить натуральную величину фигуры вращением вокруг ее горизонтали (рис.60).

Решение: Проводится горизонталь a’ d’ и определяется ее горизонтальная проекция. Прямая АD принимается за ось вращения фигуры.

Определяется центр и радиус вращения точки В. На горизонтальной проекции из точки b опускается перпендикуляр на прямую ad. Точка К – основание перпендикуляра, является центром вращения точки В.

Находится натуральная величина отрезка BK (отрезок b₁K, см.рис.60).

Определяется центр вращения точки С. Точка t, основание перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую ad, является центром вращения точки С вокруг прямой АD.

Прямая ВК поворачивается вокруг оси AD до положения, когда она будет параллельна плоскости Н.

Очевидно, для определения такого положения достаточно прямую b₁k совместить с прямой bk вращением вокруг точки k (прямая b₂k , см.рис.60).

При вращении фигуры вокруг оси AD точка С будет перемещаться по прямой, проходящей через точку t и перпендикулярной прямой ad. Следовательно, для определения нового положения точки С достаточно найти точку пересечения прямых b₂ d и ct – точка С₂.

Точки а, b₂ и С₂ соединяются прямыми. В результате получают горизонтальную проекцию фигуры а b₂ С₂ , представляющую натуральную величину треугольника АВС.