3. Построение линии пересечения поверхностей с помощью параллельных плоскостей общего положения

Способ применяется для построения цилиндрических поверхностей, оси которых представляют линии общего положения.

Сущность способа заключается в определении наиболее рационального положения вспомогательных плоскостей. Эти плоскости располагаются параллельно осям цилиндрических поверхностей.

Рассматривается пример построения линии пересечения двух цилиндров, оси которых – прямые общего положения (рис. 78).

Построение линии пересечения поверхностей выполняется в следующем порядке:

На фронтальной проекции определяется точка пересечения проекций осей цилиндров – точка А’ и точки пересечения осей цилиндров с плоскостью Н – точки В’ и C’.

На линии, перпендикулярной оси Х и проходящей через точку А’ выбирается произвольно горизонтальная проекция точки А.

Через эту точку проводятся линии АВ и АС, параллельные соответствующим осям цилиндров.

В результате построений получают две проекции треугольника АВС: причем – ВС есть горизонтальный след плоскости.

Любая плоскость, проведенная параллельно фигуре АВС пересекает каждый из цилиндров по образующим, а горизонтальный след плоскости будет параллелен прямой ВС.

Проводится плоскость Q₁ касательная к цилиндру . След Q_1H этой плоскости касается основания цилиндра  в точке 3 и пересекает основание цилиндра  в точках 1 и 2.

Определяются точки пересечения образующей 3 цилиндра  с образующими 1,2 цилиндра – точки a,b (см.рис.78).

Строится фронтальная проекция образующей 3 и на нее проецируются точки a,b – точки a’ ,b’.

Проводится плоскость Q₂ касательная к цилиндру .. След Qн₂ касается основания цилиндра  в точке 4 и пересекает основание цилиндра  в точках 5,6.

Определяются точки пересечения образующей 4 цилиндра  с образующими 5,6 цилиндра  - точки с,d.

Строится фронтальная проекция образующей 4 , и на нее проецируются точки с,d – точки с’,d’.

Проводятся плоскости Q₃, Q₄ и аналогичным образом определяются точки пересечения образующих цилиндров  и  - точки m, n, k, t, e, h, q.

Строятся фронтальные проекции образующих 8, 13, 14 и на них проецируется соответствующие перечисленные точки.

На горизонтальной и фронтальной проекциях точки a, b, с,d, m, n, k, t, e, h, q соединяются плавными линиями, которые представляют проекции линии пересечения поверхностей  и .

8.4. Построение линии пересечения поверхностей с помощью сферических

поверхностей

Способ применяется для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения с пересекающими осями.

Способ основан на одном свойстве, присущем поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения

пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей [7].

В частном случае, если одна из поверхностей вращения – сфера, приведенное выше свойство можно сформулировать так: если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружности. На одной из проекций эта окружность будет представлена линией, проведенной через точки пересечения сферы с меридианами поверхности вращения.

Рассматривается пример построения линии пересечения конусов  и  (рис.79).

На фронтальной проекции центр вспомогательных секущих сфер помещается в точке d .

Определяются минимальный и максимальный радиусы сфер. За минимальный принимается радиус окружности, касающейся образующих одной из поверхностей.

В рассматриваемом примере R min касается образующих конуса  (см.рис.79).

Очевидно, если взять сферу с радиусом, меньшим R min, то она конус  не пересечет.

За максимальный радиус принимается расстояние dd’ , т.е. радиус окружности, проходящий через точку пересечения образующих конусов  и  - точку d’ .

Для построения линии пересечения поверхностей используются секущие сферы с радиусами R₁, R₂, R₃…. R_n , расположенных в диапазоне.

Rmin  Ri  Rmax

Выбирается сфера с центром в точке 0’ и радиусом R₁. Эта сфера пересекает конус  по окружности , с диаметром, равным длине отрезка 1’ - 2’ и конус  - по окружности с диаметром 3’ – 4’. На фронтальной проекции полученные окружности проецируются в линии 1’-2’ и 3’-4’. Пересечение этих линий определяет точки h’,q’, принадлежащие линии пересечения плоскостей.

На горизонтальной проекции проводится окружность с центром в точке О и диаметром, равным отрезку 1’ – 2’ . На эту окружность проецируются точки h,q.

Выбирается сфера с радиусом R₂. Эта сфера пересекает конус  по окружности с диаметром, равным отрезку 5’ – 6’ и конус  по окружности с диаметром 7’ – 8’ . Пересечение линий 5’ – 6’ и 7’ – 8’ определяет точки t’, q’.

Изменяя величину радиуса секущих сфер определяют точки пересечения поверхностей  и .