Оператори з межами

В LaTeX можна отримати формулу із записами над і під знаками операцій (в разі оператора вони називаються «межі підсумовування», тому записи над і під знаком операцій прийнято називати межами (limits)).

Приклад.

\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\]

Рис. 4.6.Приклад зі знаком суми

В даному прикладі важливим є те, що формула виділена в окремий рядок; а у формулі межі друкуються на тих же місцях, що й індекси.

Таблиця 4.1.

Перелік операторів із межами

	\bigcap		\bigotimes		\prod
	\bigcup		\bigsqcup		\coprod
	\bigodot		\biguplus		\sum
	\bigoplus		\bigvee		\int
			\bigwedge		\oint

Приклад.

\( \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n

\frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6} \)

Рис. 4.6.Приклад зі знаком суми та межами в місцях, що і індекси

Індекси розміщують в межах операторами різного розміру, та операторами типу \lim, при використанні якого друкують ім'я операції прямим шрифтом без зміни розміру букв.

Якщо треба, аби межі в якого-небудь оператора стояли не над чи під знаком оператора, а збоку, то після команди для знаку оператора треба поставити команду \nolimits, а вже після неї – позначення для меж.

Приклад.

\[\prod\nolimits_{i=1}^n i = n!\]

Рис. 4.7.Приклад зі знаком суми

Інтеграли

Для набору знаків інтегралу використовуються команди \int для звичайного інтегралу і \oint для контурного інтегралу. Межі інтегралу за замовчуванням друкуються збоку як індекси, див. рис. 4.8.

Приклад.

\[\int_0^1 f(x)\,dx \qquad \oint_C \mu\,dl\]

Рис. 4.8.Приклад зі знаком суми із межами інтегралу, що розміщені як індекси

Аби межі інтеграції стояли над і під знаком інтегралу, необхідно відразу після \int (або \oint) поставити команду \limits, а вже після неї – позначення для меж інтегралу, див. рис. 4.9.

Приклад.

\[ \int\limits_0^\infty в(x)\,dx

\qquad

\oint\limits_C dl \]

Рис. 4.9.Приклад зі знаком суми із межами інтегралу, що розміщені над знаком інтегралу

Пакет amsmath вводить команди \iint, \iiint і \iiiint для друку кратних інтегралів і команду \idotsint для друку двох знаків інтеграла з багатокрапкою між ними, див. рис. 4.10.

Приклад:

\[\iint dxdy\quad\iiint dxdydz\quad\iiiint dV\]

\[\idotsint\limits_V d\vec{x}\]

Рис. 4.10.Приклад зі знаками кратних інтегралів та багатокрапки

Варіанти застосування індексів

Пакет amsmath вводить команду \substack для набору багаторядкових індексів в символів змінного розміру. Індекси розбиваються на рядки, як завжди, командою \\, див. рис. 4.11.

Приклад:

\[\sum_{\substack{i\in\Lambda\\0<j<n} } P(i,j)\]

Рис. 4.11.Приклад зі знаком суми

Можливості команди \substack розширюють командні дужки subarray. Вони мають обов'язковий аргумент, який вказує, як повинні вирівнюватися рядки індексів. Допустимі значення l, с і r відповідають вирівнюванню по лівому краю, по центру і правому краю, див. рис. 4.12.

П риклад:

\begin{equation}

\sum_{\begin{subarray}{l}

i

Рис. 4.12.Приклад зі знаком суми із вирівнюванням рядків індексів

\in \Lambda \\ 0<j<n

\end{subarray}} P(i,j)

\end{equation}

Пакет amsmath вводить також команду \sideset для друку індексів по кутах символів змінного розміру, див. рис. 4.13.

Приклад:

\[\sideset{_1^2}{_3^4}\prod_k \qquad

\sideset{}{’}\sum_{0\le i\le m}E_i\beta x\]

Рис. 4.13.Приклад зі знаком суми із використанням команди \sideset