5.4. Средняя гармоническая

Известно, что предприятие осуществило 2 закупки на одинаковую сумму. Цена товара в первой партии – 42грн., во второй – 44грн. Как рассчитать среднюю цену закупки?

(грн.) – неверно. Использование формулы средней арифметической было бы правомерно, если бы в условии было сказано, что одинаково количество купленного товара.

Чтобы узнать среднюю цену закупки нужно поделить общую сумму затраченных средств на количество купленного товара. Пусть s грн. - сумма каждой закупки. Тогда общая сумма закупки – 2*s. Количество товара в первой партии можно узнать, разделив потраченную сумму на цену – s/42, аналогично находим количество и во второй партии – s/44.

Всего куплено (s/42 + s/44) кг.

Средняя цена грн. за кг.

Мы вывели формулу средней гармонической простой, которая представляет собой обратную среднюю арифметическую из обратных индивидуальных значений.

Средняя гармоническая простая:

.

Теперь рассмотрим условия применения и выведем формулу средней гармонической взвешенной.

По имеющимся данным в таблице (а) вычислить среднюю цену закупки мы можем, используя формулу средней арифметической взвешенной. Она равна 80,29.

В примере (б) нам известны цены и сумма покупки.

Чтобы для расчета средней применить среднюю арифметическую взвешенную мы должны сначала вычислить количество (f=w/x), как это сделано в примере (в).

(а)			(б)			(в)
цена	к-во		цена	сумма		цена	сумма	к-во
x	f		x	w		x	w	f
80	98003		80	7840240		80	7840240	98003
82	98235		82	7317270		82	7317270	98235
78	82653		78	6446934		78	6446934	82653
81	90247		81	7310007		81	7310007	90247
Итого	360138		Итого	28914451		Итого	28914451	360138

Если в формулу средней арифметической взвешенной подставить f=w/x, то мы получим новый вид формулы:

Эта преобразованная формула носит название

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где W  объем значений признака.

Вид средней не влияет на результат, поскольку экономический смысл средней остается прежним, и по одной и той же совокупности средняя арифметическая и средняя гармоническая будут иметь одинаковые значения. Формула расчета определяется имеющимися данными.

Выбор арифметической или гармонической должен основываться на экономической модели рассчитываемого показателя. Сопоставляя ее с формулой , определяют, где объем значений признака, а где объем явления. Исходя из этого, выбирают вид средней.