46. Смешанные стратегии. Теоремы о смешанных стратегиях матричной игры

Если α<β, то игрок А увеличивает выигрыш, а игр. В уменьшает проигрыш. Поиск такого решения приводит к использованию сложной стратегии, состоящей в случайном применении чистых стратегий с определенными частотами. Такая стратегия наз. смешанной. Смешанной стратегией первого игрока А(второго В) наз. вектор p=(p1,p2,…,pm), где pi≥0, i=1,m, ∑pi=1. Для игр. В q=(q1,q2,..,qm),где qj≥0, j=1,n ∑qj=1

Pi и qj- вероятности с которыми игр. А и В выбирают свои чистые стратегии ai и bj в ходе игры.

Т. К. игроки выбирают чистые стратегии случайно и независимо др. от друга игра имеет случ. хар-р и случайной становится величина выигрыша (проигрыша). Функция f(p,q)= наз. платежной ф-цией игры с матрицей [aij]m×n

Оптимальные стратегии. Стратегии p*=(p1,p2,…,pm) и q*=(q1,q2,..,qm) наз. оптимальными, если для произвольных стратегий p и q выполняется условие: f(p,q*)≤f(p*,q*)≤f(p*,q),где (p*,q*)-явл. cедловой точкой функции f(p,q). Исп-е в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает первому игроку выигрыш не меньший, чем при использовании им любой другой стратегии p.второму игроку- проигрыш не больший чем при исп-ии любой др. стратегии q.

Оптимальное решение. Значение платежной ф-ции при оптимальных стратегиях опред-т цену игры v, т.е. f(p*,q*)=v. Сов-ть оптимальных стратегий и цены игры составляют решение игры. Теорма 1.В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку. Теорема2. Для того чтобы смешанные стратегии p* и q* были оптимальными для игроков А и В в игре с матрицей [aij]m×n с ценой v, необходимо и достаточно выполнение неравенства: ,i=1,m

,j=1,n

47. Активные стратегии. Теоремы об активных стратегия

Чистые стратегии игрока, входящего в его оптимальную смешанную стратегию с вероятностями отличными от 0, наз. активными стратегиями игрока.

Теорема. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того какую стратегию применяет др. игрок, если только не выходит за пределы своих активных стратегий.

Можно доказать, что число активных стратегий игроков не превышает наименьшего из чисел m и n.

48. Доминирующие и доминируемые стратегии. Теорема о преобразовании платежной матрицы матричной игры

Пусть игра задана платежной матрицей [aij]m×n. Если asо≥atj, j=1,n, то выигрыш игрока А при стр-гии s будет больше, чем при стратегии t,какую бы чистую стратегию не применил игр. В.

Стратегию As наз. доминирующей, а At-доминируемой.

Т. К. игрок В заинтересован в минимизации проигрыша, доминирующим будет столбец с наименьшейи элеметами.

Если все элементы air≥ail, i=1,m, то игроку В свой выбор выгодно сделать по l- му столбцу. В этом случае стратегия Вl игрока В доминирует над стратегией Вr.

Дублирование стратегии. Если в матричной игре имеем строки(столбцы) с одними и теми же элементами, то такие строки(столбцы), а соответственно и стратегии игроков А и В наз. дублирующими.

В матричной игре доминируемые и дублирующие строки(столбцы) можно опускать, что не влияет на решение игры, но позволяет уменьшить размерность платежной матрицы.

Теорема. Оптимальные смешанные стратегии p* и q* соответственно игроков А и В в матричной игре [aij]m×n с ценой v будут оптимальными и в матричной игре [baij+c]m×n с ценой v’=bv+c, b>0/