43. Динамические модели моб

Рас-е ранее модели межотраслевого баланса явл-ся статическими, т.е. такими, в которых все зав-ти отнесены к одному моменту времени. Эти модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причем в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. В стат. моделях не анализируется распределение использования и про-я эф-ть капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы про-ва в сферу конечного исп-я вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт. В отличии от статических, динамические модели должны отражать не состояние, а процесс развития экономики, устанавливать непосредственную связь м/ду предыдущими и последующими этапами. В основе построения моделей в виде динамической системы лежит математическая зав-ть м/ду величиной капитальных вложений и приростом продукции.

Уравнения распределения продукции вида в динамической модели преобразуется в след. где (х_ij)_nxn – матрица межотраслевых потоков текущих затрат. Элементы этой матрицы совпадают с соответствующими элементами статич. баланса. ( )_nxn – матрица межотраслевых потоков капитальных вложений.Элементы этой матрицы показывают показывают какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-тую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды.

уi` - продукция i-той отрасли, идущая в личное и общественное потребление, непроизводственные накопления, прирост оборотных фондов на экспорт и т.д. Таким образом сумма потоков капитальных вложений и конечного продукта динамической модели = конечной продукции статического баланса уi=

44. Матричная игра с нулевой суммой

Чтобы задать матричную игру с нулевой суммой необходимо перечислить все возможные стратегии каждой из сторон и определить результат игры для каждой пары таких стратегий. Обозначим возможные стратегии игрока А: A₁, A₂, A₃…A_m.

Стратегии второго игрока В: В₁, В₂, В₃…В_n.

Если игрок А применит стратегию А_i, то время как игрок В применяет стратегию В_j, то рез-том такого решения будет выйгрыш игрока А равный а_ij, а для игрока В вел-на а_ij будет пройгрышем. Матричная игра с нулевой суммой полностью задаётся платёжной матрицей игры.

= [a_ij]_mxn

Если в игре исп-ютя случайные ходы, то исход игры определяется средним значением выйгрыша (мат. ожиданием). В платёжной матрице записываются всегда выйгрыши игрока А. Число α = max_i α_i = max_i min_j a_ij называется нижней чистой ценой игры (максмином). Оно показывает, какой минимальный выйгрышможет получить игрок А, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока В. Соответствующая стратегия называется максминной. Число β = min_j β_j = min_j max_i a_ij называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает максимальный проигрыш игрока В.

45. Чистые и смешанные стратегии. Реш-е матр.Игры в чистых стр-гиях

Чистые стратегии.

Чистая стр-гия А_i – чистая стр-гия игрока А (В_j – игрока В) – это возможный ход первого (второго) игрока, выбранный им с вер-тью 1.

Если 1-ый игрок имеет m чистых стр-гий, а 2-ой – n чистых стр-гий, то для любой пары стр-гий 1-ого и 2-ого игрока чистые стр-гии можно представить в виде единичных векторов. Для пары стр-гий А₁ и В₂ – чистые стр-гии записываются в виде:

Для A: p=(1;0;…;0) m штук

Для B: q=(0;1;…;0) n штук

Теорема 1

В матр.игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т.е. α≤β.

Решение матричной игры чистой стратегии: Если для чистых стратегий А_i и В_j игроков А и В соотв-но имеет место равенство α=β, то пару чистых стратегий (А_i, В_j) наз. седловой точкой матричной игры. Эл-т a_ij платёжной матрицы называется седловым эл-том.

Число υ=α=β наз-ся чистой ценой игры. Т.о. если матричная игра имеет решение чистой стратегии, то платёжная матрица имеет седловую точку и чистые стратегии обращающие эту седловую точку будут оптимальными. В этом случае оптимальным решением игры считается тройка объектов (А_i, В_j, υ). Платёжная матрица может иметь несколько седловых точек.

Смешанные стратегии.

Если α< β, то игрок А стремится увеличить выйгрыш, а игрок В – уменьшить пройгрыш. Поиск такого решения приводит к использованию сложной стратегии, сост. в случайном применении чистых стратегийс определёнными частотами. Такая стратегия называется смешанной.

Смеш-ой стр-гией 1-ого игрока А (2-ого игрока В) наз-ся вектор p=(p₁;p₂;…;p_m), где p_i≥0 i=1,m и ∑p_i=1 (q=(q₁;q₂;…;q_n) q_j≥0 j=1,n ∑q_j=1), где p_i и q_j вер-ти, с которыми игроки А и В применяют свои чистые стр-гии А_i и В_j в ходе игры.

Т.к. игроки выбирают чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, игра имеет случайный хар-р и случайной становится вел-на выйгрыша (пройгрыша). Ф-ция f(p;q) = ∑∑a_ijp_iq_j наз-ся платежной ф-цией игры с матрицей [a_ij]_mxn.