Метод квантилей

Сущность метода квантилей схожа с методом моментов: выбирается столько квантилей, сколько требуется оценить параметров; неизвестные теоретические квантили, выраженные через параметры распределения, приравниваются к эмпирическим квантилям. Решение полученной системы уравнений дает искомые оценки параметров.

Дисперсия D(x ) выборочной квантили обратно пропорциональна квадрату плотности распределения D(x )=[ (1– )]/[nf ²(x )] в окрестностях точки x . Поэтому следует выбирать квантили вблизи тех значений х, в которых плотность вероятности максимальна.

Метод квантилей позволяет получить асимптотически нормальные оценки, однако они несут в себе некоторый субъективизм, связанный с относительно произвольным выбором квантилей. Эффективность оценок не выше метода моментов. Определение оценок может приводить к необходимости численного решения достаточно сложных систем уравнений.

Оценки, вычисленные на основе различных методов, различаются. Универсального ответа на вопрос, какой из рассмотренных методов лучше или следует ли положиться на данный метод при решении любой задачи, нет. Значение оценки в каждом конкретном случае (для разных выборок) отличается от истинного значения параметра на неизвестную величину, иначе говоря, существует некоторая доля неопределенности в знании действительного значения параметра.

№ 18 Интервальная оценка параметров распределения

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение параметра Т, получила название методов интервального оценивания. К их числу принадлежит метод Неймана.

Общий метод построения доверительных интервалов

Метод позволяет по имеющейся случайной выборке построить функцию и(Т,  ), распределенную асимптотически нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В основе метода лежат следующие положения. Пусть:

f (х,  ) – плотность распределения случайной величины Х;

ln [L(x,  )] – логарифм функции правдоподобия;

;

А² =М(у)² – дисперсия у.

Если математическое ожидание М(у) = 0 и дисперсия у конечна, то распределение случайной величины w = асимптотически нормально с параметрами 0 и 1 при п  .

распределена нормально с параметрами 0 и 1.

Нормальное распределение симметрично, поэтому границы интервала следует выбрать симметрично относительно нулевой точки. Вероятность  =1 –  того, что модуль величины w не превысит некоторого заданного значения  , составит

где Ф( ) – значение функции нормального распределения в точке  .

Величина  равна квантили u_{1– /2} стандартного нормального распределения уровня 1–  /2. Значение абсолютной погрешности оценивания E = | m₁ –  ₁| = /( n^0,5) = u_{1–  /2} /( n^0,5). Итак, имея достаточный объем выборки ЭД и задаваясь определенным уровнем надежности  можно определить доверительный интервал t₀ =  ₁ – Е, t₁ =  ₁ + Е, который с заданной вероятностью содержит неизвестный параметр т₁.

Аналогичные результаты для некоторых параметров распределения можно получить, используя более простые рассуждения.