37. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательны (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью:

, где - постоянная положительная величина.

Найдем математическое ожидание:

Интегрируя по частям, получим: .

Найдем дисперсию:

Интегрирую по частям, получим , следовательно . .=> Математическое ожидание и средне квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

38. Нормальный закон распределения

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью . Это распределение определяется двумя параметрами . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. есть математическое ожидание, а - средне квадратическое отклонение нормального распределения.

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами .

Плотность нормированного распределения

.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения F(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), такова:

.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда

  .

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда .

Найдем новые пределы интегрирования. Если x = a, то  , если x = b, то . Тогда

.

Выражение , входящее в эту формулу, является функцией верхнего предела X, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей и обозначается Ф(x). В результате получаем:

Ф — Ф ,

где Ф(x) = .

Эту формулу называют формулой Лапласа.

Если случайная величина X является признаком генеральной совокупности, то формула Лапласа дает долю элементов генеральной совокупности, у которых значение признака X находится в границах от  до .

Интеграл, через который выражается функция Лапласа, нельзя выразить через элементарные функции. Его можно представить в виде степенного ряда, если разложить в ряд подынтегральную функцию и почленно проинтегрировать ряд. Тогда

Ф(x) =  .

C помощью этого ряда можно вычислить значение Ф(x) для любого x с любой точностью. Составлены специальные таблицы значений функции Лапласа.

Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.

1. Функция Ф(x) – нечетная, т. е. Ф(-x) = –Ф(x).

2. Функция Ф(x) – возрастающая, быстро приближающаяся к своему пределу, равному 0,5: Ф(0) = 0, Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772, Ф(3) = 0,4986, Ф(4) = 0,4999 и т.д. На практике полагают Ф(x)= 0,5 для x>5.

40. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной вели­чины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства  |x —а|<d.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

Тогда получим:

Приняв во внимание равенство:

(функция Лапласа—нечетная), окончательно имеем

Вероятность заданного отклонения равна

Eсли две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-d,d),больше у той величины, которая имеет меньшее значение d. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра s .

Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение: Воспользуемся формулой

 

 По условию ,

тогда