34. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

М ода Мо(Х) случ. величины X - наз-ся ее наиболее вероятное значение (для которого вер-сть рi или плотность вер-сти φ(х) достигает max). Если вер-сть или плотность достигает max в неск точках, распредел-е наз-тся полимодальным. Медиана Ме(Х) непрерывной случ. величины X наз-тся такое ее значение, для которого Р(X<Me(X))=P(X>Me(X))=0,5, т.е. вер-сть того, что X примет значение, < Ме(Х) или > ее, одна и та же и = 0,5. Геометрически: вертикальная прямая, проходящая через точку х=Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на 2 равные части. Квантилем уровня q наз-ся такое значение Xq случ/ величины, при котором ф-я ее распред-я принимает значение, равное q, т.е. F(Xq) = P(X<xq) = q. Ме – это квантиль уровня 0,5. Начальным моментом k-го порядка случ. велич X наз-ся мат. ожидание k-й степени этой величины: νk=M(X^k). Для непрерывн случ велич: νk=∫х^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞). Центральный моментом k-го порядка случ. велич. X наз-тся матю ожидание k-й степени отклонения X от ее мат. ожидания: μk=M[X-M(X)]^k. Для непрерывной случ велич: μk= ∫(х-М(Х))^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞). Третий центральный момент μ3 служит для характер-ки асимметрии распределения. А= μ3\σ^3. Если распред-е симметрично относительно мат. ожидания, то А=0. Эксцесс Е= μ4\ σ^4 – 3.

35. Моменты непрерывной случайной величины

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k.

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

 Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

            Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

            Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

            Абсолютный начальный момент: .

            Абсолютный центральный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

36. Равномерный закон распределения

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

или . Отсюда, Итак искомая плотность вероятности равномерного распределения: