41. Распределение "хи квадрат"

Определение. Пусть - независимые случайные величины, нормально распределенные с параметрами (0,1). Другими словами,

Тогда случайная величина

имеет распределение с n степенями свободы.

Плотность каждой случайной величины имеет вид

.

42. Распределение Стьюдента

Пусть - независимые случайные величины, нормально распределенные с параметрами (0,1). В статистике часто возникает случайная величина

с распределением Стьюдента с n степенями свободы. Ее плотность распределения имеет вид

, .

43. Система двух случайных величин

Двумерными называются величины, возможные значения которых определяются не одним, а двумя числами. Двумерные случайные величины обозначаются через . Каждая из величин X и Y называют составляющей (компонентой).

Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Обычно закон распределения дискретной двумерной случайной величины задают в виде таблицы с двойным входом:

x\y	y1	y2	...	ym
x1			...
x2			...
...	...	...	...	...
xn			...

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Вероятность того, что Х примет значение х₁ рана сумме вероятностей «столбца х₁», т.е.

.

В общем случае, для того, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности столбца х_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность .

Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее y:

.

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины.

1. Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. Но если совокупность содержит очень большое количество объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂, ..., x_k – n_k раз и – объем выборки, , если . Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариант в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а – относительными частотами.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности гистограмму частот, гистограмму относительных частот или гистограмму нормированных частот. Также можно построить полигоны частот, относительных частот и нормированных частот. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длины h и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Мода выборки – наиболее часто встречающееся значение выборки.

Когда выборочные значения случайной величины расположены по возрастанию, то средний элемент такого вариационного ряда есть выборочная оценка медианы, если объем выборки n – нечетное число. Если n – четное число, то берется полусумма двух средних значений вариационного ряда.