3. Статистическое определение вероятности

Статистическое определение (из эксперимента) - относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е. , где P(A) - cтатистическая вероятность соб. А; w(A) – частость соб. А; m - число испытаний, в котор появилось событие А; n - общее число испытаний. Свойства событий: 1. Соб. должны быть исходами только тех испытаний, котор могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одинаковых условиях. 2. Соб. должны обладать статистической устойчивостью (устойчивостью относительных частот – т.е. частость изменяется не значительно). 3. Число испытаний, в результате которые появляется соб. А, должно быть достаточно велико.

4. Геометрическое определение вероятности

Геометрические вероятности ­ это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и др.).

Когда события составляют непрерывное одномерное множество длиной D и существует симметрия, то есть все точки множества равноправны, то предполагается, что шанс выбрать точку из множества А пропорционален её длине d. Рассматривая множество А как случайное событие, вероятность можно определить формулой P(A)=d/D. Когда множество событий двумерно, то вместо длин в определение геометрической вероятности входят площади. Геометрическим определением можно пользоваться при равномерном распределении.

5. Теорема сложения вероятностей

Сложение вероятностей несовместимых событий. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из ору­дия произведены два выстрела и А—попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В—попадание при первом выстреле, или при вто­ром, или в обоих выстрелах.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий A, B, C, A и B, A и C, B и C, A и B и C.

Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A) + Р(В).

Доказательство. Введем обозначения: п — общее число возможных элементарных исходов испытания; т₁, — число исходов, благоприятствующих .событию А; т₂ — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно т₁ + т₂. Следовательно, Р (А + В) = (т₁ + т₂)/n =. т₁/n+ т₂/n.

Приняв во внимание, что т₁/n= Р (А) и т₂/n= Р (В), окончательно получим P(A+B)=P(A) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:P(A1+A2+..+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Р (А + В + С) = Р [(A +В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р(А) + Р(В) + Р(С).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.