- •1. События и операции над ними
- •2. Классическое определение вероятности
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическое определение вероятности
- •5. Теорема сложения вероятностей
- •6. Произведение событий
- •7. Условная вероятность
- •8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •9. Формула полной вероятности
- •10. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •11. Формула Бернулли
- •12. Локальная теорема Лапласа
- •13. Интегральная теорема Лапласа
- •14. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •16. Биномиальное распределение
- •17. Распределение Пуассона
- •18. Геометрическое распределение
- •19. Гипергеометрическое распределение
- •20. Математические операции над случайными величинами
- •21. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •22. Математическое ожидание дискретной случайной Величины
- •23. Вероятностный смысл математического ожидания
- •24. Свойства математического ожидания
- •25. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •26. Дисперсия дискретной случайной величины
- •27. Формула для вычисления дисперсии
- •28. Свойства дисперсии
- •29. Среднее квадратическое отклонение
- •30. Начальные и центральные теоретические моменты
- •31. Закон больших чисел
- •32. Функция распределения случайной величины
- •33. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •34. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •35. Моменты непрерывной случайной величины
- •36. Равномерный закон распределения
- •37. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •38. Нормальный закон распределения
- •39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •40. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •41. Распределение "хи квадрат"
- •42. Распределение Стьюдента
- •43. Система двух случайных величин
- •1. Генеральная и выборочная совокупности
- •2. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •3. Способы отбора из генеральной совокупности.
- •4. Статистическое распределение выборки.
- •5. Эмпирическая функция распределения.
- •6. Полигон и гистограмма.
- •7. Статистические оценки параметров распределения.
- •8. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •9. Средние значения количественного признака X.
- •10. Дисперсии количественного признака X.
- •11. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •12. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.
- •13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
- •14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.
- •15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
- •16. Статистическая проверка статистических гипотез.
- •17. Отыскание правосторонней критической области.
- •18. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей.
20. Математические операции над случайными величинами
Матем-кие операции: 1) Произведение kХ, (k – постоянная) - случ. величина, котор принимает значения kxi с теми же вер-стями pi (i = 1, 2, ..., n). 2) Степень X^m - случ. величина, котор принимает значения xim с теми же вер-тями pi(i= 1, 2, ..., n). 3) Сумма (разность или произведением) случ величин X и Y – случ. величина, котор принимает все возможные значения вида xi+yj (xi-yj или xi*yj), где i=1,2,...,n; j=1,2,...,m, с вер-тями pij того, что случ. величина X примет значение хi, a Y - значение уj: pij=P[(X=xi)(Y=yj)]. Если X и Y независимы, т.е. независимы любые соб-я X=xi, Y=yj, то по теор умножения вер-стей для независ соб-й: pij=P(X=xi)*P(Y=yj)=pi*pj.
21. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Опр. Пусть (Ω, А, Р) — вероятностное пространство. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на Ω и такая, что определена вероятность F(x)=P{X<x}=P{ω│P(ω)<x}. F(x) называется функцией распределения случайной величины X.
Замечание:
Если вероятностное пространство Ω конечно, то любая числовая функция, заданная на Ω, является случайной величиной.
Свойства функции распределения:
При x1<x2 P{x1≤X<x2}=F(x2)-F(x1)
F(x)(не обязательно строго).
limx→-∞F(x)=0, limx→∞F(x)=1
F(x) непрерывна слева(т.е. limx→x0 - 0F(x)=F(x0)).
Свойство 1 простое следствие из аксиом вероятностного пространства. Свойство 2 сразу следует из 1. Свойство 3 следует из аксиомы счетной аддитивности.
Опр. Случайные величины X и Y называются независимыми, если P{X<x, Y<y}= P{X<x}P{Y<y} (другими словами, события {X<x} и {Y<y} независимы)
Пространство элементарных событий дискретно, когда оно либо конечно, либо счетно.
Закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы ряда распределений
Пример:
Рассмотрим схему n независимых испытаний Бернулли. Определим случайные величины
Xi =1, если в i-м испытании успех, 0, если неудача.
Пусть Sn = X1+X2+…+Xn. Тогда случайная величина Sn — число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли.
Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма
MX=∑xi P{X=xi}, где суммирование ведется по всем значениям xi случайной величины X.
Опр. Дисперсия (рассеяние) случайной величины X — DX=M(X-MX)2, где X-MX отклонение случайной величины от мат. ожидания.
Опр. Cov(X,Y)=M((X-MX)(M-MY)) — ковариация случайных величин X и Y, заданных на одном и том же пространстве элементарных событий.
Опр. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве заданы случайные величины X и Y. Коэффициентом корреляции X и Y называется число ρ(X,Y)=(Cov(X,Y))/√DX DY
22. Математическое ожидание дискретной случайной Величины
Мат. ожидание (среднее значением) М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: M(X)=∑xipi. Cвойства мат. Ожидания: 1) М(С)=С, С=const;
2)M(kX)=kM(X), k=const; Док-во: М(kX)=∑(kxi)pi=k∑xipi=kM(X). 3)M(X±Y)=M(X)±M(Y). Док-во: в соответствии с определением суммы и разности pij(X+Y)=∑∑(xi±yj)pij=∑∑xipij±∑∑yjpij. Т.к. в 1й двойной сумме хi не зависит от индекса j, во 2й двойной сумме yj не зависит от индекса i, то:
=M(X)±M(Y).
4)M(XY)=M(X)M(Y) док-во аналогично, как и для суммы. 5)М(Х±С)=М(Х)+С док-во: учитывая св-ва 1и3.
6) Мат. ожидание отклонения случ. величины от ее мат. ожидания: M[X-M(X)]=0. Дисперсия – отклонение от среднего значения.