Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
otvety_na_ekzamen_po_tvms.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
17.04.2019
Размер:
888.29 Кб
Скачать

20. Математические операции над случайными величинами

Матем-кие операции: 1) Произведение kХ, (k – постоянная) - случ. величина, котор принимает значения kxi с теми же вер-стями pi (i = 1, 2, ..., n). 2) Степень X^m - случ. величина, котор принимает значения xim с теми же вер-тями pi(i= 1, 2, ..., n). 3) Сумма (разность или произведением) случ величин X и Y – случ. величина, котор принимает все возможные значения вида xi+yj (xi-yj или xi*yj), где i=1,2,...,n; j=1,2,...,m, с вер-тями pij того, что случ. величина X примет значение хi, a Y - значение уj: pij=P[(X=xi)(Y=yj)]. Если X и Y независимы, т.е. независимы любые соб-я X=xi, Y=yj, то по теор умножения вер-стей для независ соб-й: pij=P(X=xi)*P(Y=yj)=pi*pj.

21. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Опр. Пусть (Ω, А, Р) — вероятностное пространство. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на Ω и такая, что определена вероятность F(x)=P{X<x}=P{ω│P(ω)<x}. F(x) называется функцией распределения случайной величины X.

Замечание:

Если вероятностное пространство Ω конечно, то любая числовая функция, заданная на Ω, является случайной величиной.

Свойства функции распределения:

При x1<x2 P{x1≤X<x2}=F(x2)-F(x1)

F(x)(не обязательно строго).

limx→-∞F(x)=0, limx→∞F(x)=1

F(x) непрерывна слева(т.е. limxx0 - 0F(x)=F(x0)).

Свойство 1 простое следствие из аксиом вероятностного пространства. Свойство 2 сразу следует из 1. Свойство 3 следует из аксиомы счетной аддитивности.

Опр. Случайные величины X и Y называются независимыми, если P{X<x, Y<y}= P{X<x}P{Y<y} (другими словами, события {X<x} и {Y<y} независимы)

Пространство элементарных событий дискретно, когда оно либо конечно, либо счетно.

Закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы ряда распределений

Пример:

Рассмотрим схему n независимых испытаний Бернулли. Определим случайные величины

Xi =1, если в i-м испытании успех, 0, если неудача.

Пусть Sn = X1+X2+…+Xn. Тогда случайная величина Sn — число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли.

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма

MX=∑xi P{X=xi}, где суммирование ведется по всем значениям xi случайной величины X.

Опр. Дисперсия (рассеяние) случайной величины X — DX=M(X-MX)2, где X-MX отклонение случайной величины от мат. ожидания.

Опр. Cov(X,Y)=M((X-MX)(M-MY)) — ковариация случайных величин X и Y, заданных на одном и том же пространстве элементарных событий.

Опр. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве заданы случайные величины X и Y. Коэффициентом корреляции X и Y называется число ρ(X,Y)=(Cov(X,Y))/√DX DY

22. Математическое ожидание дискретной случайной Величины

Мат. ожидание (среднее значением) М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: M(X)=∑xipi. Cвойства мат. Ожидания: 1) М(С)=С, С=const;

2)M(kX)=kM(X), k=const; Док-во: М(kX)=∑(kxi)pi=k∑xipi=kM(X). 3)M(X±Y)=M(X)±M(Y). Док-во: в соответствии с определением суммы и разности pij(X+Y)=∑∑(xi±yj)pij=∑∑xipij±∑∑yjpij. Т.к. в 1й двойной сумме хi не зависит от индекса j, во 2й двойной сумме yj не зависит от индекса i, то:

=M(X)±M(Y).

4)M(XY)=M(X)M(Y) док-во аналогично, как и для суммы. 5)М(Х±С)=М(Х)+С док-во: учитывая св-ва 1и3.

6) Мат. ожидание отклонения случ. величины от ее мат. ожидания: M[X-M(X)]=0. Дисперсия – отклонение от среднего значения.