- •1. События и операции над ними
- •2. Классическое определение вероятности
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическое определение вероятности
- •5. Теорема сложения вероятностей
- •6. Произведение событий
- •7. Условная вероятность
- •8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •9. Формула полной вероятности
- •10. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •11. Формула Бернулли
- •12. Локальная теорема Лапласа
- •13. Интегральная теорема Лапласа
- •14. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •16. Биномиальное распределение
- •17. Распределение Пуассона
- •18. Геометрическое распределение
- •19. Гипергеометрическое распределение
- •20. Математические операции над случайными величинами
- •21. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •22. Математическое ожидание дискретной случайной Величины
- •23. Вероятностный смысл математического ожидания
- •24. Свойства математического ожидания
- •25. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •26. Дисперсия дискретной случайной величины
- •27. Формула для вычисления дисперсии
- •28. Свойства дисперсии
- •29. Среднее квадратическое отклонение
- •30. Начальные и центральные теоретические моменты
- •31. Закон больших чисел
- •32. Функция распределения случайной величины
- •33. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •34. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •35. Моменты непрерывной случайной величины
- •36. Равномерный закон распределения
- •37. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •38. Нормальный закон распределения
- •39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •40. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •41. Распределение "хи квадрат"
- •42. Распределение Стьюдента
- •43. Система двух случайных величин
- •1. Генеральная и выборочная совокупности
- •2. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •3. Способы отбора из генеральной совокупности.
- •4. Статистическое распределение выборки.
- •5. Эмпирическая функция распределения.
- •6. Полигон и гистограмма.
- •7. Статистические оценки параметров распределения.
- •8. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •9. Средние значения количественного признака X.
- •10. Дисперсии количественного признака X.
- •11. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •12. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.
- •13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
- •14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.
- •15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
- •16. Статистическая проверка статистических гипотез.
- •17. Отыскание правосторонней критической области.
- •18. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей.
1. События и операции над ними
Случайное событие - любой факт, котор в результате испытания может произойти или не произойти. Испытание(эксперимент) - выполнение определенного комплекса условий, в котор наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Событие(обознач А, В, С) - возможный исход, результат испытания. АВ - А влечет за собой событие В (входит в В); А=В - А и В равносильные. Несовместные соб. - если наступление одного исключает наступление другого. В противном случае события назыв-ся совместными. Достоверные (обознач ) - должно обязательно произойти в результате испытания. Невозможное (обознач )- не может произойти в результате испытания. Равновозможные - по условиям симметрии ни одно из этих событий не является более возможным. Единственно возможные - в результате испытания должно произойти хотя бы одно из них. Противоположные - 2 несовместных события, одно из которых должно произойти. Полная группа - совокупность единственно возможных и несовместных исходов испытания, т.е. в результате должно произойти только одно из этих событий. Действия над соб.:
1) Сумма событий АВ - событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Если А и В — совместные, то их сумма обозначает наступление или А, или В, или обоих. Если А и В - несовместные, то их сумма означает наступление или А, или В. 2)Произведение АВ - событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
3)Разность А\В - событие, которое состоится, если соб. А произойдет, а В не произойдет. Свойства: 1. А+В=В+А - коммутативность сложения. 2.А+(В+С) = (А+В)+С - ассоциативность слож-я. 3. АВ=ВА - коммутативность умнож-я.
4) A(BС) = (АВ) С — ассоциативность умнож-я.
5) А(В+С) = АВ+АС; А + ВС = (А+В)(А+С) — законы дистрибутивности.
2. Классическое определение вероятности
Вероятность функция, аргументом которой является не число, а событие.
Симметрия и вероятность. Возможные, исключающие друг друга исходы опыта называются элементарными событиями. Если опыт таков, что его результаты подразделяются на конечное число элементарных событий, которые являются равно возможными (симметричными), то можно использовать классическое определение вероятности события А: P(A)=m/n, где m число элементарных исходов, благоприятствующих А; n число всех возможных элементарных исходов испытания.
Равновозможность. Это когда есть основания считать, что ни одно из событий не является более возможным, чем другое.
Измерение вероятности.
Те элементарные события, в которых интересующее нас событие наступает, называется благоприятствующим этому событию.
Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. P(A)=m/n.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равно возможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие, ее свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события роена единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т = п, следовательно, Р (А) = т/п = п/п = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т — 0, следовательно, Р (А) = т/п = 0/п = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < т < п, значит, 0<m/n<1, следовательно,0< Р (А)<1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0<= Р (А)<=1.
События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.