- •1. События и операции над ними
- •2. Классическое определение вероятности
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическое определение вероятности
- •5. Теорема сложения вероятностей
- •6. Произведение событий
- •7. Условная вероятность
- •8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •9. Формула полной вероятности
- •10. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •11. Формула Бернулли
- •12. Локальная теорема Лапласа
- •13. Интегральная теорема Лапласа
- •14. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •16. Биномиальное распределение
- •17. Распределение Пуассона
- •18. Геометрическое распределение
- •19. Гипергеометрическое распределение
- •20. Математические операции над случайными величинами
- •21. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •22. Математическое ожидание дискретной случайной Величины
- •23. Вероятностный смысл математического ожидания
- •24. Свойства математического ожидания
- •25. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •26. Дисперсия дискретной случайной величины
- •27. Формула для вычисления дисперсии
- •28. Свойства дисперсии
- •29. Среднее квадратическое отклонение
- •30. Начальные и центральные теоретические моменты
- •31. Закон больших чисел
- •32. Функция распределения случайной величины
- •33. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •34. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •35. Моменты непрерывной случайной величины
- •36. Равномерный закон распределения
- •37. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •38. Нормальный закон распределения
- •39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •40. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •41. Распределение "хи квадрат"
- •42. Распределение Стьюдента
- •43. Система двух случайных величин
- •1. Генеральная и выборочная совокупности
- •2. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •3. Способы отбора из генеральной совокупности.
- •4. Статистическое распределение выборки.
- •5. Эмпирическая функция распределения.
- •6. Полигон и гистограмма.
- •7. Статистические оценки параметров распределения.
- •8. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •9. Средние значения количественного признака X.
- •10. Дисперсии количественного признака X.
- •11. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •12. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.
- •13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
- •14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.
- •15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
- •16. Статистическая проверка статистических гипотез.
- •17. Отыскание правосторонней критической области.
- •18. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей.
27. Формула для вычисления дисперсии
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться другой формулой:
.
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится средне-квадратичное отклонение.
28. Свойства дисперсии
Свойство 1: Дисперсия постоянной величины C равна нулю:
Доказательство: По определению дисперсии, Пользуясь тем, что математическое ожидание постоянной равно самой постоянной, получим: Итак,
Свойство 2: Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
Доказательство: По определению дисперсии имеем
Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, получим: Итак,
Свойство 3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
Доказательство: По формуле вычисления дисперсии имеем
Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим
Итак,
Следствие 1: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Следствие 2: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:
Доказательство: Величины C и X независимы, следовательно имеем Но так, как Следовательно имеем
Свойство 4: Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
Доказательство: В силу третьего свойства имеем По второму свойству, Или
29. Среднее квадратическое отклонение
Средне-квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
.
Так как средне-квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью Х.
30. Начальные и центральные теоретические моменты
Моменты вводятся для более подробной характеристики случайной величины. Моменты подразделяются на начальные и центральные.
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Xk:
.
В частности,
, .
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:
.
Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения .
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины :
.
В частности,
, .