Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
otvety_na_ekzamen_po_tvms.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
17.04.2019
Размер:
888.29 Кб
Скачать

27. Формула для вычисления дисперсии

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться другой формулой:

.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится средне-квадратичное отклонение.

28. Свойства дисперсии

Свойство 1: Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

Доказательство: По определению дисперсии, Пользуясь тем, что математическое ожидание постоянной равно самой постоянной, получим: Итак,

Свойство 2: Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство: По определению дисперсии имеем

Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, получим: Итак,

Свойство 3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство: По формуле вычисления дисперсии имеем

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

Следствие 1: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Доказательство: Величины C и X независимы, следовательно имеем Но так, как Следовательно имеем

Свойство 4: Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство: В силу третьего свойства имеем По второму свойству, Или

29. Среднее квадратическое отклонение

Средне-квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

.

Так как средне-квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью Х.

30. Начальные и центральные теоретические моменты

Моменты вводятся для более подробной характеристики случайной величины. Моменты подразделяются на начальные и центральные.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Xk:

.

В частности,

, .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

.

Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины :

.

В частности,

, .