16. Статистическая проверка статистических гипотез.

Пусть случайная величина X имеет плотность p(x, θ), зависящую от параметра θ, одномерного или многомерного, принимающего значения из некоторого множества Θ. В частности, если p(x, θ) — одномерная плотность распределения и независимая выборка x₁, x₂,…x_n(1) получена из распределения с этой плотностью, то n-мерная плотность, соответствует выборке (1) равна произведению

(С очевидными изменениями все это переносится и на дискретный случай, когда p(x, θ)= P{X=x}).

Значение параметра θ вполне определяет плотность p(x, θ). Те или иные гипотезы о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения называются статистическими гипотезами. Статистическая гипотеза типа θ = θ₀, где θ₀ — некоторое фиксированное значение, называется простой; гипотеза типа θ Θ называется сложной (содержат конечное или бесконечное число простых гипотез). Проверку гипотезы проводят статистическим методом, поэтому проверку называют статистической. Гипотезу проверяют на основании выборки из ГС — это и есть статистический метод. Из-за случайности выборки в результате статистической проверки могут возникнуть ошибки и приниматься неправильные решения. Решение принимается по значению некоторой функции от выборки, называемой статистикой (это спец. статистика, которая называется статистическим критерием, который служит для отбора и проверки).

Опр: Статистический критерий К — это случайная величина, т.е. функция на множестве случайного аргумента, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Множество значений критерия К можно разделить на два непересекающихсяподмножества:

подмножество значений К, при которых H₀ принимается, называемое областью принятия гипотезы(допустимой областью).

подмножество значений критерия К, при которых основная гипотеза H₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза H₁ , называемое критической областью.

К — одномерная случайная величина, т.е. его возможные значения некоторому интервалу. Обычно интервал — вся прямая или положительная полуось, поэтому критическая область критерия и допустимая область критерия также являются интервалами на числовой оси и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Они называются критическими точками или границами критерия К.

17. Отыскание правосторонней критической области.

Как найти критическую область? Для определения начнем с нахождения правосторонней критической области, которая определяется неравенством К > К_кр, где К_кр > 0.

Для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку. Следовательно, возникает новый вопрос: как ее найти?

С этой целью задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости. Затем ищут критическую точку К_кр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, большее К_кр, была равна принятому значению уровня значимости: Р ( К > К_кр) = .

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюденное значение критерия и, если окажется, что

К_набл > К_кр, то нулевую гипотезу отвергают; если же К_набл < К_кр, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Почему правосторонняя критическая область была определена, исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы выполнялось соотношение Р ( К > К_кр) = .

Поскольку вероятность события К > К_кр мала (  – малая вероятность), такое событие при справедливости нулевой гипотезы в силу принципа практической невозможности маловероятных событий в единичном испытании не должно наступить. Если все же оно произошло, т. е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше К_кр, то это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна и, следовательно, должна быть отвергнута. Таким образом, требование Р ( К > К_кр) =  определяет такие значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а они составляют правостороннюю критическую область.

Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим К_кр не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента и др.). В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости .