13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.

Доверит. интервал для a при известном параметре σ.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем a неизвестно, а σ известно.

Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

Для решения задачи воспользуемся следующим фактом.

Пусть X₁, X₂, X_n, — независимые случайные величины, распределение которых нормально с параметрами a и σ. Тогда случайная величина нормальна с параметрами a и . Для обоснования этого утверждения достаточно вычислить плотность распределения .

Статистика имеет нормальное распределение с параметрами (0,1)(стандартное нормальное распределение). Пусть — квантиль порядка стандартного нормального распределения. Тогда , следовательно

. Таким образом статистики задаются равенствами , , и доверит. интервал для a построен.

14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.

Доверит. интервал для a при неизвестном параметре σ.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем a и σ неизвестны.

Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

,

Для решения воспользуемся теоремой: Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), Статистика имеет распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы. (Без доказательства)

Построим, пользуясь этой теоремой, доверительный интервал для a. Для этого прежде всего заметим, что плотность вероятности распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы является четной и положительной функцией x. Поэтому, если — квантиль распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы порядка (то есть корень уравнения F(U) = , где F(U) — функция распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы), то , следовательно,

,

.

Итак, , , и задача решена.

15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.

Доверительный интервал для σ при известном параметре a.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем σ неизвестно, а a известно.

Построить доверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).

Воспользуемся тем, что статистика имеет распределение χ² с n степенями свободы. Пусть K_n(x) — соответствующая функция распределения, , — квантили этого распределения порядков и соответственно. Тогда

,

поэтому , , и задача решена.

Доверительный интервал для σ при неизвестном параметре a.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем σ и a неизвестны.

Построить доверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).

Эту задачу будем решать так же, как предыдущую, только неизвестный параметр a заменим его оценкой . Тогда статистика тоже будет иметь распределение χ², но не с n, a с (n-1) степенью свободы. Пользуясь этим и рассуждая как в предыдущем пункте, получаем , , где , — квантили распределения χ² с (n-1) степенью свободы порядков и ( ) соответственно.