4. Функции спроса.

Равенство (2.12) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, т.е. набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя. Координаты x₁^*,x₂^* решения (x₁^*,x₂^*) задачи потребительского выбора есть функции параметров р_1, р₂ и I:

x₁^*=x₁^*(р_1,р₂,I)

x₂^*=x₂^*(р_1,р₂,I)

Полученные функции называются  функциями спроса  на первый и второй продукты. Важным свойством функций спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инвариантны по отношению к пропорциональным изменениям цен и дохода, т.е.

x₁^*(aр_1,aр₂,aI)=x₁^*(р_1,р₂,I)

x₂^*(aр_1,aр₂,aI)=x₂^*(р_1,р₂,I)

для любого числа a > 0. Это означает, что если все цены и доход изменятся в одно и то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй - безразлично) останется неизменной.

2.6. Общая модель потребительского выбора.

В предыдущем разделе рассмотрена типовая модель потребительского выбора с двумя товарами и ее решение с помощью метода множителей Лагранжа. Рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом товаров и целевой функцией общего вида, а затем перейдем к некоторым конкретным задачам, включая анализ компенсированного изменения цен.

Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя U(x₁,x₂,...,x_n) где x_i - количество i-го блага, вектор цен (p₁,p₂,...,p_n) и доход I. Записав бюджетное ограничение и ограничения на не отрицательность переменных, получаем задачу

U(x) max (2.13)

(p,x)I

x0

Будем, как и ранее, считать, что не отрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.

Функция Лагранжа L(x,)=U(x)+((p,x)-I).

Необходимые условия экстремума - равенство нулю частных производных

L_i =U_xi+ p_i=0 для всех i от единицы до n.

Отсюда вытекает, что для всех i,j в точке оптимума выполняется равенство

(2.14)

Равенство (2.14) получается после перенесения вторых слагаемых необходимых условий в правую часть и делением i-ro равенства на j-oe. Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ должно быть равно отношению их цен.

4. Пример задачи потребительского выбора.

Решим одну простую задачу потребительского выбора с двумя благами. Пусть неизвестные количества этих благ равны x₁ и x₂ , а их цены p₁ и p₂:

U(x_1,x₂)=x_1x₂ max

p₁x₁+p₂x₂I

x₁ 0, x₂ 0

Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность равна нулю, если одно из них отсутствует), требования не отрицательности переменных будут выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача превращается в классическую задачу математического программирования. Записав необходимые условия оптимума (согласно которым, отношения предельных полезностей благ должны равняться отношениям их цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений:

; p₁x₁+p₂x₂=1

Первое условие означает, что в рассматриваемой задаче количества денег, затрачиваемые на оба блага, должны быть одинаковыми, то есть p₁x₁=p₂x₂. Это вытекает из равенства "весов", или показателей степени у переменных х и у в функции полезности. Итак, p₁x₁=p₂x₂=1/2, и функции спроса приобретают вид: x₁=1/2p₁ x₂=1/2p₂

Итак, расход на каждое благо составляет половину общего дохода потребителя, и чтобы найти необходимое количество каждого блага, нужно разделить расходуемую на него сумму на его цену.

Пример. Пусть бюджетное ограничение потребителя двух товаров таково: 10x₁+2x₂60 , а функция полезности U(x_1,x₂)=x_1x₂. Определить набор товаров, при котором достигается максимум полезности для данного бюджетного ограничения. Выписать функции спроса для данной функции полезности и бюджетного ограничения общего вида.

Учитывая, что максимум полезности должен достигаться при выполнении бюджетного ограничения как равенства (т.е. все средства должны быть потрачены на приобретение товаров), получим следующую задачу на условный экстремум:

U(x_1,x₂)=x_1x₂ max

10x₁+2x₂=60

x₁ 0, x₂ 0

Составим функцию Лагранжа: L(x₁,x₂,)=x₁x₂+(10x₁+2x₂-60) и приравняем нулю ее первые частные производные по всем переменным:

 

Решая полученную систему трех линейных уравнений с тремя переменными, получим ее единственное решение: x₁^*=3, x₂^*=15, ^*=-3/2.

В точке оптимума предельная норма замещения первого товара вторым должна быть равна отношению цен на эти товары. Проверим это условие для нашего решения:

; ;

Из первого и второго уравнений системы получаем, что:

x₁=-p₂, x₂=-p1(.

Подставляя эти выражения в третье уравнение, получим: =-I/2p₁p_2.

Тогда функции спроса имеют вид:

x₁=-p₂(-I/2p₁p₂)=I/2p₁

x₂=-p₁(-I/2(p₁p₂)=I/2p_2.