4. Решение задачи потребительского выбора.

На первый взгляд ЗМП может рассматриваться как задача более общая, по сравнению с задачами на абсолютный (если убрать все специальные и общие ограничения) и условный (если убрать все общие ограничения, а из специальных оставить одно в виде равенства) экстремумы. Однако, в действительности полное обобщение места не имеет, ибо в случае ЗМП речь идет только о глобальном экстремуме, в то время как в случае задачи на абсолютный и условный экстремум речь идет как о глобальном, так и о локальном экстремуме. В экономической теории часто ЗМП сводится к задаче на условный экстремум. В качестве иллюстрации приведем пример задачи потребительского выбора (задачи рационального поведения потребителя на рынке) в виде ЗМП:

U(x₁,x₂) max (2.7)

При условиях

p₁x₁+p₂x₂I (2.8)

x₁ 0, x₂ 0. (2.9)

Здесь (x₁,x₂) - потребительский набор (x_{1 -} число единиц первого продукта, x₂ - число единиц второго), p₁ - рыночная цена одной единицы первого продукта, p₂ - рыночная цена одной единицы второго продукта, I - доход индивидуума, который он готов потратить для приобретения продуктов, U(x₁,x₂)-функция полезности индивидуума. Напомним, что первые частные производные функции полезности U(x₁,x₂) по переменным x₁, x₂ называются предельными полезностями первого и второго продукта соответственно. Если на каком-то потребительском наборе (x₁,x₂) бюджетное ограничение p₁x₁+p₂x₂I будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (x₁^*,x₂^*), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. p₁x₁+p₂x₂=I. Графически это означает, что решение (x₁^*,x₂^*) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (Рис.3), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт.

Мы также будем считать, что в оптимальной точке (x₁^*,x₂^*) условия {x₁0, x₂0} выполняются автоматически, вытекая из свойств функции U(x₁,x₂). Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения. Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (x₁^*,x₂^*) этих двух задач одно и то же).

U(x₁,x₂) max при условии p₁x₁+p₂x₂=I

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа

L(x₁,x₂,λ)= U(x₁,x₂) + λ(p₁x₁+p₂x₂-I) (2.10)

Находим ее первые частные производные по переменным x₁,x₂ и  λ, приравниваем эти частные производные к нулю, решаем систему уравнений:

;

;

.

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную  , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x₁ и x₂

; p₁x₁+p₂x₂=I.

Решение (x₁^*,x₂^*) этой системы есть "укороченная" критическая точка функции Лагранжа. Можно строго доказать, что "укороченная" критическая точка (x₁^*,x₂^*) функции Лагранжа обязательно есть решение задачи потребительского выбора. Подставив решение (x₁^*,x₂^*) в левую часть равенства

(2.11)

получим, что в точке (x₁^*,x₂^*) локального рыночного равновесия индивидуума отношение предельных полезностей продуктов равно отношению рыночных цен на эти продукты.

В связи с тем, что левая часть отношения (2.11) равна предельной норме замены первого продукта вторым, то в точке локального рыночного равновесия (x₁^*,x₂^*) из (2.11) следует, что предельная норма замены равна отношению рыночных цен этих продуктов. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.

Из (2.11) следует, что

(2.12)

т. е. отношение конечных (относительно небольших) изменений   и   объемов продуктов в локальном рыночном равновесии (x₁^*,x₂^*) приближенно равно отношению рыночных цен р₁ и р₂ на продукты.