3. Формальные свойства производственных функций.

Производственная функция y=f(х₁,x₂₎ как формальная конструкция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, т.е. при х1(0,x2(0. ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ - своему) свойств.

1. f(0,0) = 0;

1". f(0,x₂) = f(x₁,0)=0.

2. x¹x⁰ x¹x0( f(x1)(f(x0), xk=(x1k,x2k)

2". µ § i=1,2, x=(x₁,x₂)

3. i=1,2, x=(x₁,x₂)

3". x=(x₁,x₂)

 

4. f(tx₁,tx₂)=t^pf(x₁,x₂)

Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска. Свойство 1" означает, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска. Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет. Свойство 2" (первая частная производная ПФ по x_i  положительна) означает, что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет. Упорядоченная пара (x₁,x₂) чисел x₁ и x₂ для краткости здесь и далее обозначается символом x, т.е. x=(x₁,x₂). Свойство 3 (вторая частная производная ПФ  не положительна) означает, что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-ого ресурса не растет (закон убывающей эффективности). Свойство 3" означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3-3", то график Г ПФ есть поверхность, расположенная в неотрицательном ортанте x₁> 0, x₂> 0, y> 0 трехмерного пространства и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (x₁,x₂) уходит в плоскости Ox₁x₂ на "северо-восток" (см, раздел 1). Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени р > 0. При р > 1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), т.е. с переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в t^p(>t) раз. т.е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства. При р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства. При р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства).

4.4. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции.

Пусть у=f(x₁,x₂) - ПФ.

Дробь   (i = 1,2) называется средней производительностью i-ого ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-ому ресурсу (фактору производства) и обозначается:

Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД для средних производительностей основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых x₁=K, x₂=L.

Пусть у=f(x₁,x₂)- ПФ. Ее первая частная производная (i=1,2) , называется предельной производительностью i-ого ресурса (фактора производства) или предельным выпуском по i-ому ресурсу (фактору производства) и обозначается M_i.

Предельная производительность i-го фактора приближенно показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат x_i  i-го ресурса вырастет на одну (достаточно малую) величину при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин, т.е.  и   . Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экономического смысла ППФ. С другими предельными величинами следует поступать аналогичным образом.

Линии уровня ПФ, соответствующие комбинациям ресурсов, обеспечивающим одинаковый выпуск продукции, называются изоквантами.