4.5. Примеры производственных функций.

Пример 1. Дана производственная функция y=(0.5K+L)^3/2, где y-выпуск продукции, К - капитал, L – труд.

Проверить выполнение свойств ПФ для данной функции, построить изокванты ПФ, вычислить производительность труда и капиталоотдачу.

Проверка свойств ПФ:

1. у(0,0)=(0.50+0)^3/2=0, т.е. при отсутствии ресурсов выпуска нет

2. При K₁K₂, L₁L₂ y(К₁,L₁)  y(К₂,L2) 

2'. K>0, L>0, ; то есть выпуск растет с ростом потребления ресурсов.

3. K>0, L>0,   т.е. закон убывающей эффективности не выполняется

3'.   , т.е. при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает

4. y(tL,tK)=(0.5tK+tL)^3/2=t^3/2(0.5K+L)^3/2=t^3/2y(L,K), т.е. имеется рост эффективности от роста масштаба производства.

Таким образом, все свойства, кроме свойства 3, выполняются.

Изокванты (линии уровня ПФ, соответствующие комбинациям ресурсов, обеспечивающим постоянный выпуск) находятся из условия: (0.5K+L)^3/2=d, где d-фиксированный объем выпуска. Тогда 0.5K+L=d^2/3, т.е. изокванты - отрезки прямой в положительной четверти.

Пример 2. Определить производительность труда и капиталоотдачу для ПФ .

Капиталоотдача:

Производительность труда:

Например, при К=2, L=32 капиталоотдача равна (32/2)3/4=8,

производительность труда равна (2/32)1/4=1/2

5. Задачи оптимизации производства.

Основным понятием микроэкономической теории является фирма, определяемая как некоторая организация, производящая затраты экономических факторов для изготовления продукции и услуг, которые она продает потребителям или другим фирмам. Задача рационального ведения хозяйства, с которой встречается фирма, заключается в определении количества продукции и в расчете необходимых для ее выпуска затрат с учетом технологической связи между ними и заданными ценами на затраты и на продукцию (функциями предложения затрат и функциях спроса на продукцию).

Если обозначить через х_j количество j-го вида затрат, используемых фирмой (j=1,2,…,n), то вектор затрат х=(х₁,x₂,…,x_n) где все х_j≥0. Каждому набору затрат соответствует единственный максимальный выпуск продукции, произведенный с их использованием. Технологическая связь между выпуском продукции и затратами – производственная функция. Обозначив через Y объем выпуска, ПФ запишется в виде: Y=F(x)=F(х₁,x₂,…,x_n).

Введем следующие определения.

Доходом R фирмы за определенный временной период называется C₀∙Y- произведение объема выпущенной продукции Y на рыночную цену этой продукции C₀.

Издержками С фирмы называются общие выплаты фирмы за все виды затрат: С=с₁х₁₊с₂x₂₊…+с_nx_n, где х₁,x₂,…,x_{n –} объемы затрачиваемых ресурсов, с₁,с₂,…,с_{n –} рыночные цены на эти ресурсы.

Прибылью PR фирмы называется разность между доходом и издержками: PR= R- С или C₀∙F(х₁,x₂,…,x_n)-(с₁х₁₊с₂x₂₊…+с_nx_n).

В теории фирмы считается, что если фирма функционирует в условиях чистой конкуренции, то на рыночные цены она влиять не может.

Рассмотрим именно этот случай функционирования фирмы. Цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.

Математические формулировки задач, наиболее часто встречающиеся в теории фирмы. Будем считать, что количество ресурсов, используемых фирмой, - 2.