2.7. Модель Стоуна.

Функция полезности, называемая функцией Стоуна, имеет вид:

Здесь a_i – минимально необходимое количество i-го блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора. Для того, чтобы набор (a₁,a₂,…,a_n) мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход I был больше - количества денег, необходимых для покупки этого набора. Показатели степени α_i >0 характеризуют относительную «ценность» благ для потребителя.

Модель Стоуна имеет вид:

при условиях ≤ I

.

Выведем функции спроса для модели Стоуна.

Применим метод Лагранжа, для этого приравняем нулю первые частные производные функции Лагранжа по переменным , получаем для всех i от 1 дл n: откуда .

К этим условиям добавляется равенство , следующее из .

Умножим каждое i-е условие на и просуммируем по i,получим

.

Поскольку в точке оптимума бюждетное ограничение выполняется как равенство, заменим на I. Получим .

Функция спроса будет иметь вид:

.

Эта функция имеет следующую экономическую интерпретацию. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага a_i. Затем сумма денег, остающаяся после приобретения минимального набора, распределяется между благами пропорционально их относительной ценности («весам» важности). Разделив количество денег на цену блага, получаем дополнительно приобретаемое количество этого блага (сверх минимума) и прибавляем его к a_i.

Если все a_i=0, а все «веса» равны между собой, получаем (то есть доход делится на n равных частей и спрос на i-й товар рассчитывается как частное от деления части дохода потребителя на его цену).

Пример. Функция полезности для двух благ имеет вид .

Выписать функции спроса для благ. Вычислить оптимальный набор потребителя при ценах на блага соответственно 5 и 10 и доходе потребителя 100.

Так как функция полезности – функция Стоуна, то функции спроса можно выписать по формуле :

.

Оптимальный набор потребителя для :

2.8. Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации.

Функции спроса на товары определяют зависимость их потребления от цен на товары и величины дохода. С изменением цены на один товар может измениться спрос на другие товары. При этом ряд потребительских наборов этих товаров может стать недоступным для потребителя, то есть изменяется покупательная способность дохода, то есть изменяется реальный доход потребителя. С ростом цен он падает.. Реакция потребителя на изменение цен и реального дохода называется соответственно эффектом замены и эффектом дохода. Любое изменение цены приводит к появлению этих эффектов, так как оно меняет как объем доступных наборов благ, так и их относительные цены.

Эффект дохода – изменение реального дохода потребителя (а следовательно и величины спроса) в связи с изменение цены какого-либо блага.

Эффект замещения (замены) – изменения потребления различных благ в связи с изменением цен благ относительно изменившейся цены некоторого блага.

Необходимо определить, на сколько общее изменение величины спроса, вызванное изменением цены, обусловлено эффектом дохода, а на сколько эффектом замены.

Для определения влияния эффекта замены предполагается, что реальный доход не изменяется. В зависимости от понятия неизменного реального дохода существует два подхода к разграничению эффекта дохода и эффекта замены.

1). Подход Е.Слуцкого. Считается, что реальный доход не изменен, если потребитель, истратив весь денежный доход, способен приобрести тот же набор благ.

2). Подход Хикса. Считается, что реальный доход неизменен, если потребитель, истратив свой номинальный доход, способен приобрести набор благ, полезность которого равна полезности прежнего набора.

Будем рассматривать подход Е.Слуцкого. Пусть (x₁^*,x₂^*)- оптимальный набор потребителя при ценах p₁ и p₂ и доходе I.

Рис.7.

Пусть цена первого блага повысилась с p₁ до p₁¹ , тогда бюджетная прямая из положения 1 перейдет в положение 2. Точка А(x₁^*,x₂^*) на линии безразличия l₁, касающейся первоначального бюджетного ограничения, будет заменена новой точкой оптимума В(x₁^**,x₂^**), где новая линия безразличия l₂ касается новой бюджетной прямой. Если мы хотим компенсировать потребителю потерю благосостояния, то увеличим его доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3 (параллельна линии 2) коснулась в некоторой точке С(x₁^***,x₂^***) прежней линии безразличия l₁. Направленный отрезок АС показывает «эффект замены» при росте цены, то есть изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня реального дохода. Направленный отрезок СВ отражает «эффект дохода», то есть изменение потребительского спроса при сохранении соотношения цен благ и изменении уровня дохода. Общий результат роста цены (при отсутствии компенсации) выражается направленным отрезком АВ.

Величина эффекта замены вычисляется как . Величина эффекта дохода: . Здесь эффект дохода и эффект замены действуют в одинаковом направлении – обратном изменению цены. Цена увеличивается – эффекты отрицательны (спрос уменьшается за счет обоих эффектов). Эффект замены всегда противоположен направлению изменения цены, а эффект дохода зависит от вида товара. Определим различные типы товаров следующим образом:

- нормальные товары – если эффект дохода меняет величину спроса в направлении, противоположном изменению цены ( ).

- товары низшей категории – если эффект дохода меняет величину спроса в том же направлении, в котором изменилась цена. Для этих товаров .

- товары Гиффина – если , то величина спроса меняется в том же направлении, что и цена.

Для вычисления эффекта дохода и эффекта замещения при изменении цены используется уравнение Е.Слуцкого: .

Чтобы показать количественную зависимость между размером изменения цены и величиной эффектов, разделим обе части этого уравнения на Δp₁ (изменение цены): . Изменение цены на величину Δp₁ повлекло изменение реального дохода на ΔI, что влечет изменение спроса на величину Δx₁^I, то есть эффект дохода может быть записан в виде: ΔI=- Δp₁x₁^*. Но такое же изменение реального дохода возможно за счет увеличения его номинала: Δp₁₌ -ΔI/x₁^*, то есть . Подставим это выражение в уравнение , получим:

- уравнение Слуцкого в разностной форме.

Если Δp₁→0, то ΔI→0. Тогда уравнение Слуцкого можно записать в дифференциальной форме:

.

Индекс comp означает, что производная считается из условия компенсации дохода.