2.3. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум.

Пусть имеем задачу на условный экстремум:

определить max f(x₁,x₂) (2.1)

при g(x₁,x₂)=0 (2.2)

Суть метода Лагранжа состоит в построении функции

L(x₁,x₂,)= f(x₁,x₂) + g(x₁,x₂) (2.3)

трех переменных x₁, x₂,   (называемой функцией  Лагранжа) и, грубо говоря, в сведении задачи (2.1)-(2.2) на условный экстремум в случае двух независимых переменных к задаче на глобальный экстремум функции L(x₁,x₂,) трех независимых переменных x₁,x₂,. Ниже эта идея о сведении уточняется. Функция Лагранжа  L(x₁,x₂,λ) представляет собой сумму целевой функции (2.1) и функции ограничении (2.2), умноженной на новую независимую переменную λ (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно в первой степени. Необходимое условие локального условного экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2) в аналитической форме имеет вид:

Пусть функции f(x₁,x₂) и g(x₁,x₂) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным x₁ и x₂;

пусть (x₁^*,x₂^*) - точка условного локального экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2) и пусть gradg(x₁^*,x₂^*)≠0. Тогда существует единственное число λ^* такое, что (трехмерная) точка (x₁^*,x₂^*,λ^*) удовлетворяет следующей системе трех уравнений

  ; ; (2.4)

с тремя неизвестными x₁, x₂,  (отметим, что всегда ).

Другими словами, если точка (x₁^*,x₂^*) есть точка локального условного экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2), то (трехмерная) точка (x₁^*,x₂^*,^*) - критическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек (условного) локального экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2) следует, прежде всего, найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений (2.4). Далее критические точки функции Лагранжа следует "укоротить", удалив из них последние координаты  ⁰. Затем каждую "укороченную" критическую точку необходимо проанализировать на предмет, является ли она в действительности точкой (условного) локального экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2) или не является. Достаточное условие локального условного экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2) здесь не приводится. При анализе "укороченной" критической точки обычно используют наглядные геометрические или содержательные (экономические) соображения. Отметим, что в задачах на условный экстремум, которые появляются в экономической теории, обычно "укороченная" критическая точка функции Лагранжа является на самом деле точкой условного локального (в действительности и глобального) экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2).

Теперь приведем необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2.2) в геометрической форме:

Пусть функции f(x₁,x₂) и g(x₁,x₂) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным x₁ и x₂ и пусть - (x₁^*,x₂^*) точка условного локального экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2) и gradf(x₁^*,x₂^*)≠0. Тогда градиенты gradf(x₁^*,x₂^*) и gradg(x₁^*,x₂^*), выходящие из точки (x₁^*,x₂^*), обязательно расположены на одной прямой, что эквивалентно тому, что линии уровней функций f(x₁,x₂) и g(x₁,x₂), содержащие точку (x₁^*,x₂^*), касаются в этой точке.

Необходимое условие локального экстремума функции (2.1) при наличии ограничения (2.2), вообще говоря, не является достаточным

В случае функции двух переменных задача математического программирования (для определенности задача на максимум) имеет вид

max f(x₁,x₂) (2.5)

при

g₁(x₁,x₂) 0

g₂(x₁,x₂) 0

……………… (2.6)

g_m(x₁,x₂)0 x₁0, x₂0

Функцию f(x₁,x₂) принято называть целевой, неравенства - специальными ограничениями задачи математического программирования, неравенства x₁0, x₂0- общими ограничениями задачи математического программирования.

Точка (x₁,x₂), удовлетворяющая специальным и общим ограничениям, называется допустимым решением задачи математического программирования.

Множество всех допустимых решений задачи математического программирования (далее, для краткости, ЗМП) называется допустимым множеством этой задачи. Если ЗМП имеет хотя бы одно допустимое решение (т.е. ее допустимое множество не пусто), она называется допустимой, если ЗМП не имеет ни одного допустимого решения (т.е. ее допустимое множество пусто), она называется недопустимой.

Точка (x₁*,x₂*) называется оптимальным (конкретно для задачи максимизации - максимальным, для задачи минимизации - минимальным) решением ЗМП, если, во-первых, она есть допустимое решение этой ЗМП и если, во-вторых, в этой точке целевая функция достигает глобального максимума (в случае задачи максимизации) или глобального минимума (в случае задачи минимизации), т.е. для всех (x₁,x₂), удовлетворяющих неравенствам (2.6), справедливо соотношение f(x₁^*,x₂^*)f(x₁,x₂) (в случае задачи максимизации), f(x₁^*,x₂^*)f(x₁,x₂) (в случае задачи минимизации).