Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
MATMET_ФПК.DOC
Скачиваний:
0
Добавлен:
16.04.2019
Размер:
622.08 Кб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Ивановская Государственная архитектурно-строительная академия

Математические методы в экономических исследованиях Методические указания для студентов экономических специальностей

С о с т а в и т е л и

Кандидат физико-математических наук, с.н.с.

Г.В. Пухова

Кандидат технических наук, доцент

Н.В. Заянчуковская

Иваново 2003

Р е ц е н з е н т

Кандидат технических наук, доцент Кашникова М.Л.

(Ивановская государственная архитектурно-строительная академия)

Математические методы в экономических исследованиях: Методические указания для студентов экономических специальностей /Составитель Н.В. Заянчуковская. – Иваново: ИГАСА, 2003. – с.

Настоящие методические рекомендации составлены как пособие для студентов экономических специальностей при изучении курса «Математические методы в экономических исследованиях», самостоятельной работе и подготовке к экзамену. Методические рекомендации включают основные темы курса, примеры решения задач, вопросы к экзамену и список рекомендуемой литературы.

Целью преподавания дисциплины "Математические методы в экономических исследованиях" является получение студентами знаний математического инструментария экономической теории. Это вводные разделы по макро- и микро экономической теории.

Г.В. Пухова, Н.В. Заянчуковская, ИГАСА, 2003

1. Функции нескольких переменных и их экстремумы

    1. Функции двух переменных и их множества (линии) уровня

Функция двух переменных обозначается f(x1,x2). Переменные x1 и x2 меняются независимо друг от друга.

Если независимых переменных x1,x2,…,xn n (штук), имеем функцию n переменных y=f(x1,x2,…,xn).

В экономических приложениях математики используются линейные и нелинейные функции двух и более переменных. Например, функции y=a0+a1x1+a2x2, y= a0+a1x1+a2x2+…+ anxn – линейные функции двух и n переменных. Функции y=x12+x22, y=x12+x22+…+xn2 , y=a0x1a1x2a2, y=a0x1a1x2a2… xnan являются нелинейными.

Графиком функции f двух переменных x1 и x2 называется множество точек (x1,x2,y) трехмерного пространства таких, что y=f(x1,x2), то есть множество точек (x1,x2,f(x1,x2)). Обычно в экономических приложениях переменные неотрицательны. Геометрически график функции двух переменных – двумерная поверхность в трехмерном пространстве.

Построим график функции y=x11/2x21/2 при x1 0, x2 0 (эта функция называется функцией Кобба-Дугласа при a0=1, a1=a2=1/2). Очевидно, при x1 0, x2 0 график есть коническая поверхность, образующие которой – лучи, выходящие из точки О, а направляющая есть линия Н (см. рис.1). В вертикальной плоскости x1+x2=1 линия Н имеет уравнение y=x11/2(1-x1)1/2

Рис.1.

В экономических приложениях широко используется понятие выпуклого множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных.

Определение 1.1. Множество называется выпуклым, если оно вместе со своими любыми двумя точками содержит отрезок, их соединяющий (см. рис.2а).

Множество, не являющееся выпуклым, называется невыпуклым (см. рис. 2б).

Рис. 2а

Рис. 2б

Определение 1.2. Функция f(x), определенная на выпуклом множестве М, называется выпуклой вниз (вогнутой вверх), если для любых двух точек x1,x2 из множества М и для любого числа t (0<t<1) справедливо неравенство

f((1-t)x1+tx2)<(1-t)f(x1)+tf(x2).

Например, линейные функции выпуклы на всем пространстве Е2. График выпуклой вниз функции расположен ниже любой свой хорды.

Пусть y=f(x1,x2,...,xn) функция переменных x1,x2,...,xn.Пусть число  принадлежит области значений функции.

Определение 1.3. Множеством уровня  функции y=f(x1,x2,...,xn) называется множество точек L из области определения, в которых значения функции равны , то есть L={(x1,x2,...,xn)|f(x1,x2,...,xn)}=.

Множества и L и L, соответствующие различным уровням, не имеют общих точек.

Для функции двух переменных y=f(x1,x2) множество уровня геометрически представляет линию. Для построения на плоскости линии уровня функции двух переменных y=f(x1,x2), проходящей через точку (x1*,x2*), необходимо выполнить следующие действия:

  1. Определить частное значение (уровень) = f(x1*,x2*)

  2. Написать уравнение =f(x1*,x2*) линии уровня L.

3. Разрешить уравнение относительно одной из переменных, например, x2=g(x1) и построить на плоскости график этой функции.

Пример. Дана функция f(x1,x2)=x1x2. Построить линии уровня, проходящие через точки (2,3) и (1,3).

= f(2,3) =2·3=6, уравнение линии уровня 6: x1x2=6. Тогда: x2=6|x1, т.е. график - гипербола.

p=f(1,3)=1·3=3, уравнение линии уровня 3: x1x2=3. Тогда: x2=3|x1, т.е. график – также гипербола.

Графики (линии уровня) приведены на рис.3.

Рис.3.

Для конкретных экономических функций линии уровня носят свои специальные названия.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]