2. Производственная функция нескольких переменных.

Производственная функция n переменных  - это функция, независимые переменные х₁,x₂,...,х_n которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а зависимая переменная у принимает значения объемов выпуска:

y=f(х₁,x₂,...,х_n) (4.1)

В формуле (4.1) y (y0) - скалярная, а х - векторная величина, т.е. y=f(х₁,x₂,...,х_n) - есть числовая функция нескольких (многих) переменных х₁,x₂,...,х_n. В связи с этим ПФ y=f(х₁,x₂,...,х_n) называют многоресурсной или многофактopнoй ПФ. Более правильной является такая символика y=f(х₁,x_2,...,х_n._,a₎, где а - вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу х₁0, x₂0,...,хn≥0, следовательно, областью определения многофакторной ПФ y=f(х₁,x₂,...,х_n) является множество n-мерных векторов х, все координаты которых неотрицательные числа.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ y=f(х₁,x₂,...,х_n) может связывать объем выпуска (в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала (измеренных обычно в натуральных единицах). ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы). При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных (не в текущих) ценах. В качестве ресурсов рассматривают основной капитал (x₁=K) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (x₂=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ y=f(х₁,x₂,...,х_n) или Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

Пример. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида: , где а₀, ,  -параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто таковы, что +=1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД x₁=K равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), x₂=L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе: . С ростом затрат первого ресурса объем выпуска y растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса обеспечивает все меньший прирост выпуска y. Это обстоятельство можно прокомментировать следующим образом. Если число работников и их квалификация остаются неизменными, а число обслуживаемых ими станков (которое уже достаточно велико) увеличивается, например, в два раза, то это естественно не приведет к двойному росту объема выпуска. Отметим, что если +=1, то графиком ПФКД является поверхность, которая напоминает выпуклую вверх "горку", крутизна которой падает, если точка (K,L) перемещается на "северо-восток" по плоскости K,L.Если сумма показателей степени в ПФ Кобба-Дугласа равна единице (+=1), то ее можно записать в несколько другой форме:

Дроби и называются, соответственно, производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим , т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 < < 1, из последней формулы следует, что производительность труда z растет медленнее его капиталовооруженности. Отметим здесь, что дробь называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби и называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.