31. Мода непрерывной случайной величины.

Пусть X - случайная величина непрерывного типа с плотностью f_x(x), хR. Мы будем говорить, что (.) m_x на вещественной оси абсцисс называется модой данной случ. величины X, если в этой (.) плотность достигает max значения. Если несколько max точек, то берем любую. Если всего одна такая точка m на всей вещественной оси, то m_x называется глобальной модой. Мода на отдельном уч-ке оси х называется локальной модой данной случайной величины х.

32. Медиана непрерывной случайной величины.

Медианой порядка р=1/2 непрерывной случайной величины х с функцией распределения F_x(x_1/2), называется число x_1/2, кот-ое удовлетвор. уравнению: F_x(x_1/2)=1/2. Для медианы имеют место соотношения: F(x_1/2)=Р(X x_1/2)= Р(X)=1/2. Например: F_x(x)=(х-а)/(в-а)=1/2; 2(х-а)=в-а; x_1/2=(а+в)/2.

33. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.

Мат.ожиданием непрерывной с. в. назыв. несобственный интеграл от произведения x на плотность распределения: E(X)=_-^+xf(x)dx, при условии, что: _-^+xf(x)dx<. Если _-^+xf(x)dx=+ - мат.ожидание не существует.

Св-ва: 1. C=const, EC=C. Док-во: E(X)=_-^+Cf(x)dx=C_-^+f(x)dx=C1=C. 2. E(CX)=CEX. Док-во: E(CX)=_-^+Сxf(x)dx=C_-^+xf(x)dx=CEX. 3. C₁ и C₂; X,Y: E(C₁X+C₂Y)=C₁EX+C₂EY. 4. X и Y – независ. с.в.: E(XY)=EX²(EY).

34. Дисперсия непрерывной случайной величины. Свойства дисперсии.

Дисперсия непрерывной с. в.: X, m=EX: D(X)=E(X-m)²= _-^+(X-m)²f(x)dx. Дисперсия – мера рассеивания с. в. около ее среднего значения. Св-ва: 1. X=C=const: DX=0. 2. a=const, X: D(aX)=a²DX. 3. b=const: D(X-b)=DX. 4. D(aX+b)=a²DX; DX=EX²-(EX)². 5. E(X²-2mX+m²)=EX²-2mEX+m²=EX²-2m²+m²=EX²-(EX)². 6. X,Y: D(X+Y)=DX+DY. Среднеквадратическое отклонение X=DX.

35. Начальные и центральные моменты высших порядков.

Начальный: m_k = EX^k; E|X|^k< ; m_k= _-^+x^kf(x)dx.

Центральный: μ_k = E(X-m)^k ; _k=E(X-m)^k=E_S=0^kC_k^SX^S(-m)^k-S=_S=0^kC_k^S(-m)^k-S. k=1 => μ₁ = 0; k=2 => μ₂ = D(X).

36. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

!!! - коэффициент асимметрии

если симметрична, EX=a, то

- коэффициент эксцесса (остроты)

37. Нормальный закон распределения и правило трех сигм.

!!!

а – математическое ожидание.

σ – среднеквадратическое отклонение.

1. Кривая распределения имеет симметричный вид. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

2. 

38. Двумерные дискретные случайные величины.

2-мерная дискретная с.в. - (X,Y), где X{x₁, x₂,…, x_i,…}, Y{y₁, y₂,…,y_j,…}. p_{i j}=P{X=x_i;Y=y_j}. X и Y независимы между собой, если

p_i = P{X=x_i}, q_j = P{Y=y_j}, p_{i j} = P(X=x_i)*P(Y=y_j) = p_i * q_j. Закон 2-мерной дискретной сл. вел.:

	y1	y2	y3	…	yj
x1	p11	p12	p13	…	p1j
x2	p21	p22	p23	…	p2j
x3	p31	p32	p33	…	p3j
…	…	…	…	…	…
xi	pi1	pi2	pi3	…	pij

p_i = ∑_j=1^ p_{i j} ; q_j = ∑_i=1^ p_{i j} .

Условные распределения:

P{X=x_i | Y=y_j} = p_{i j} / q_j ;

P{Y=y_j | X=x_i} = p_{i j} / p_i ;

Условное математическое ожидание:

E(X | Y=y) = ∑_i=1^ x_i*P{X=x_i | Y=y}

E(Y | X=x) находится аналогично.