39. Двумерные непрерывные случайные величины.

2-мерная непрерывная сл. вел. (X,Y) – с.в., образующая вектор размерностью 2.

Совместная Функция распределения: F(x,y) = P{X<x, Y<y};

Совместная Плотность распределения: f(x,y) = ∂²F(x,y)/∂x∂y; F(x,y) = ∫_-^x∫_-^yf(u,v)dudv

X и Y независимы, если F(x,y) = F₁(x)*F₂(y); P{X<x,Y<y}=P{X<x}*P{Y<y};

Если X и Y независимы, то p(x,y)=p₁(x)*p₂(y);

Частные плотности распределения: p₁(x) = ∫_-^+p(x,y)dy; p₂(y) = ∫_-^+p(x,y)dx;

Закон распределения одной из случайных величин, найденный при условии, что другая принимает определённое значение, называется условным законом распределения: p₁(x|y)=p(x,y)/p₂(y); p₂(y|x)=p(x,y)/p₁(x);

Условное математическое ожидание:

E(X | Y=y) = ∫_-^+x*p₁(x|y)dx; E(Y | X=x) находится аналогично.

Условная дисперсия:

D(X|y) = ∫_-^+(x – E(X|y))²*p₁(x|y)dx.

40. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

(X,Y) – 2-мерная с.в.; f(x,y) – плотность распределения;

Начальный момент порядка KL:

m_KL = E(X^KY^L) = ∫_-^+∫_-^+x^Ky^L*f(x,y)dxdy;

Центральный момент порядка KL:

μ_KL = E(X-EX)^K(Y-EY)^L = ∫_-^+∫_-^+(x-EX)^K(y-EY)^Ldxdy.

41. Коэффициент ковариации и его свойства.

Предположим, что X,Y – с.в. Ковариацией (ковариационным моментом) с.в. X и Y называется число: cov(X,Y)=E((X-EX)(Y-EY)). Св-ва: 1. Св-во симметрии: cov(X,Y)=cov(Y,X). 2. Для любых с.в. X и Y: cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 3. Св-во аддитивности: для любых с.в. X,Y и Z: cov(X+Z,Y)=cov(X,Y)+cov(Z,Y). 4. Если с.в. X и Y независимы, то cov(X,Y)=0. Ковариация зависит от единиц измерения с.в. Для того чтобы ввести безразмерную хар-ку стохастической зависимости (с.в. стохастически зависимы, если распределение одной из них изменяется в зависимости от того, какие значения принимает другая), рассматриваются нормированные отклонения: X^*=(X-EX)/DX; Y^*=(Y-EY)/DY.

42. Коэффициент корреляции и его свойства.

Коэффициентом корреляции назыв. безразмерная величина: r_X,Y=r(X,Y)=cov(X^*,Y^*)=cov(X,Y)/(D(X)D(Y)). Св-ва: 1. если с.в. X и Y независимы, то r(X,Y)=0. С.в. X и Y назыв. некоррелированными, если r(X,Y)=0. *Из зависимости с.в. по св-ву 1 следует некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. 2. для любых постоянных a,b,c,d: r(aX+b, cY+d)=sign(ac)r(X,Y), где sign(x)={1, x>0; 0, x=0; -1, x<0. 3. |r(X,Y)|<=1. 4. |r(X,Y)|=1 тогда и только тогда, когда существуют постоянные a,b такие, что Y=aX+b с вер-тью 1.

43. Виды сходимости последовательности случайных величин.

{z_n}, z, z_nz если n. Z_nи Z случайны, то эта сходимость может быть на каком либо множестве случ. событий. 1 тип: сходимость по вер-ти: послед-ть с.в. z_n сходится к величине z если для любого сколь угодно малого  справедливо соотношение: lim_np{|z_n-z|>}0; z_n^pz – слабый з-н больших чисел. 2 тип: сходимость в среднем: она имеет место, если справедливо: мат. ожидание модуля разности стремится к 0: E|z_n-z|0. 3 тип: сходимость в среднем квадратическом: мы говорим, что имеем сходимость в среднеквадратическом, если дисперсия стремится к 0: E(z_n-z)²0. 4 тип: почти наверная сходимость (сходимость с вер-тью 1): она имеет место, если справедливо: p{z_nz}=1. 5 тип: сходимость по распределению (слабая сходимость): пусть F_Zn(x), F_z(x) – полученные функции распределения. Имеет место слаб. сходимость: F_Zn(x) F_Z(x), xR – усиленный з-н больших чисел. Соотношения между типами сходимости: пусть z_n^с.к.в.z => z_n ^{в среднем}z => z_n^pz => z_n^{d(5 тип)}z (Пусть Z_n Z(сред.квадр.),то => Z_n Z(в среднем) => Z_n Z(по вероятности) => Z_n Z(d(s)по распределению)).