- •1. Случайные события и действия над ними.
- •2. Алгебра событий.
- •3. Вероятность события. Свойства вероятности.
- •4. Теорема сложения вероятностей.
- •5. Условная вероятность.
- •6. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •7. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
- •8. Случайная величина. Определение. Пример.
- •9. Функция распределения случайной величины.
- •10. Свойства функции распределения.
- •11. Случайные величины дискретного типа.
- •12. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •13. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойство дисперсии.
- •14. Производящая функция дискретной случайной величины.
- •15. Формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины через производящую функцию.
- •16. Схемы испытаний Бернулли.
- •17. Биномиальное распределение.
- •18. Математическое ожидание, дисперсия и производящая функция биномиальной случайной величины.
- •19. Мода биномиального распределения.
- •20. Распределение Пуассона.
- •21. Предельная теорема Пуассона.
- •22. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •23. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •24. Дифференциальная и интегральная функции Гаусса.
- •25. Закон больших чисел в схеме Бернулли.
- •26. Непрерывные случайные величины. Свойство плотности распределении.
- •27. Равномерное распределение.
- •28. Нормальное распределение.
- •29. Показательное распределение.
- •31. Мода непрерывной случайной величины.
- •32. Медиана непрерывной случайной величины.
- •33. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •39. Двумерные непрерывные случайные величины.
- •40. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •41. Коэффициент ковариации и его свойства.
- •42. Коэффициент корреляции и его свойства.
- •43. Виды сходимости последовательности случайных величин.
- •44. Неравенство Чебышева.
- •45. Закон больших чисел для сумм независимых случайных величин.
- •46. Центральная предельная теорема теории вероятности.
- •47. Метод наименьших квадратов
- •48. Линейная среднеквадратическая регрессия
- •49. Генеральная совокупность. Случайная выборка. Вариационный ряд.
- •50. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко.
- •51. Выборочное среднее значение и выборочная дисперсия. Сходимость к теоретическим значениям.
- •52. Выборочный коэффициент ковариации.
- •53. Выборочный коэффициент корреляции.
- •54. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормального распределения.
- •55. Критерий x2.
- •5 6. Понятие случайного процесса. Определение и примеры
- •57. Марковские процессы. Переходные вероятности
- •58. Теорема Колмогорова-Чепмена для переходных вероятностей
- •59. Дифференциальные уравнения Колмогорова для переходных вероятностей
- •60. Уравнения Колмогорова в стационарных режимах
1. Случайные события и действия над ними.
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Достоверным называется событие Ω, которое происходит в каждом опыте.
Невозможным называется событие , которое в результате опыта произойти не может.
Возможные события, порождаемые комплексом условий, называются элементарными, если:
а) они различны (т.е. осуществление одного означает неосуществление любого другого);
б) после выполнения комплекса условия обязательно происходит одно из них.
Обозначим через Ω ={ω1, ω2 , ..., ω n , ...} пространство элементарных событий.
Любое объединение элементарных событий называется случайным событием, BΩ.
Событие B осуществляется тогда, когда происходит одно из элементарных событий ωB . В этом смысле пространство Ω может рассматриваться тоже как событие.
Противоположным событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит (A =; A =).
События Ak (k = 1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.
Операции:
1.Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.
2.Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается AB, A∩B) называется такое событие, которое заключается в том, что оба события A и B происходят вместе (совместно).
3.Если событие А, пересеченное с событием В пусто, то мы говорим, что событие А и В несовместимы. Частные случаи: A=; A=A; A=; A=A.
4. Событие А влечет за собой событие В (AB), если всякий раз когда наступает событие А, наступает событие В (А – подмножество (подсобытие) В).
Описанию случайных событий: множества, получающегося объединением элементарных событий. В связи с этим для определения соотношений между случайными событиями в теории вероятностей принят язык теории множеств (табл.1). Для анализа соотношений между случайными событиями могут оказаться полезными следующие соотношения.
1. AB = BA, AB = BA.
Эти равенства следуют из определений.
2.
Доказательство следует из следующей цепочки импликаций:
ω =>ωAB=>ωA, ωB=>ω ,ω =>ω .
и наоборот
ω =>ωA,ωB=>ωAB=>ω .
3. .
4. AB=> .
Это следует из того, что если ω , то ωB , поэтому ωA и, значит, ω .
Из соотношений 2 – 4 следует, что если задана некоторая конструкция из событий, ее дополнение можно выразить, заменив в ней все события на противоположные, символы объединения, пересечения и включения на символы пересечения, объединения и обратный к включению соответственно. Это свойство известно под названием закона де Моргана, например,
.
2. Алгебра событий.
Поле событий (алгебра событий) – множество событий.
Пусть имеется: - достоверное событие; - невозможное событие; A1, A2,…,An – случайные события; А, В – случайные события и F – поле событий (алгебра событий).
Полем событий F называется совокупность событий, которая обладает следующими св-вами:
1. в эту совокупность обязательно входит достоверное событие: F.
2. если AF, то F.
3. если А,ВF, то ABF; ABF.
A1A2…AnF; A1A2…AnF/.
4. если взять n=, то
(*){A1A2…An…= ; A1A2…An…=
Если (*)F => σ-алгебра. Выделяются 2 понятия: 1. просто алгебра – когда выполняется 3; 2. σ-алгебра – когда выполняется 4.