20. Распределение Пуассона.

Пусть  - любое неслучайное фиксированное число; X – целочисленная с.в., значение кот. принадлежит мн-ву {0,1,2,…,}. Пусть k – любое фиксир. число, кот. принадлежит 0,1,2,…; >0; X{0,1,2,…,}=N⁺; XN⁺, kN⁺; {X=k}. Случ. событие состоит в том, что случайная величина X принимает некоторое конкретное значение k. Это событие можно обозначить A_k. Будем говорить, что случ. величина X будет иметь пуассоновское распределение или явл. пуассоновской случ. величиной с с пар-ром , если вер-ть события A_k вычисляется по ф-ле: p_k=p(A_k)=(^k/k!)e^. При этом _k=0^p_k=1. Составим з-н распределения: X

0	1	2	3	4	…	k
e-	e-	(2/2!)e-	(3/3!)e-	(4/4!)e-	…	(k/k!)e-

Табл. бесконечна справа.

Мат.ожид.: EX=_k=0^k(^k/k!)e^-=. Дисперсия: DX=EX²-(EX)²=. Составим производящую ф-цию: _x(z)=Ez^x=_k=0^z^k(^k/k!)e^-= e^-(z-1)

_n{0,1,2,…,n}; p{_n=k}=C_n^kp^kq^n-k; p_n(k)=p{_n=k}; p_n(k₁,k₂)=p{k₁<=_n<=k₂}=_k=k1^k2C_n^kp^kq^n-k. n->; n1000; x500; p=0,78. Пример: C₁₀₀₀⁵⁰⁰=1000!/(500!500!). Для этого используются предельные теоремы.

21. Предельная теорема Пуассона.

При больших значениях пар-ров эти ф-лы заменяются на более простые. Теорема Пуассона: пусть n велико (n), так что _n=np(стремится)>0, тогда при любом фиксированном k=0,1,2,…: p_n(k)(^k/k!)e^-, при npq<=9 (на практике) (_n; p=_n/n). Док-во: p_n(k)=C_n^kp^kq^n-k=[n!/(k!(n-k)!)]p^kq^n-k=[[n(n-1)(n-2)…(n-k+1)]/k!]p^kq^n-k={p=_n/n; q=1-p=1-_n/n}=[[n(n-1)(n-2)…(n-k+1)]/k!](_n/n)^k(1-_n/n)^n-k = {(_n/n)^k=_n^k/n^k; 1/n^k=(1/n)(1/n)…(1/n)}= _n^k/k!((n-1)/n)((n-2)/n)…((n-k+1)/n)(1-_n/n)ⁿ(1/(1-_n/n)^k) ^k/k!; {(n-1)/n=1-(1/n)1; (n-2)/n=1-(2/n)1, …, (n-k+1)/n=1-(k-1/n)1 => (1-(_n/n))ⁿe^-; (1-(_n/n))^k=(1-(_n/n))(1-(_n/n))…(1-(_n/n))}, ч.т.д., но при условии npq<=9, если нарушается условие, то теорема Пуассона неверна.

22. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Когда npq>9: Теорема: предположим, что 0<p<1, тогда x_k=(k-np)/npq; |x_k|<=C=const. p_n(k)=C_n^kp^kq^n-k; n: p_n(k)=(1/2)(1/npq)e (1+_n(k)); |_n(k)|<=C/n; Пусть (x)=(1/2)e , тогда p_n(k)(1/npq)(x_k). Ф-ция (x) назыв. дифференц. ф-цией Гаусса: (x)=(1/2)e . p_n(k₁,k₂)=_k=k1^k2p_n(k).

23. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема: _n – Бернулиевская случ. величина, _n{0,1,2,…,n}; p{_n=k}=p_n(k); E_n=np; D_n=npq; =D_n=npq; Пусть -<a<=b<, тогда при n вер-ть того, что a<=(_n-np/npq)<=b стремится к: (1/2)_a^be dx=_a^b(x)dx, т.е.: p{a<=(_n-np/npq)<=b}(1/2)_a^be dx=_a^b(x)dx. Ф(x)=(1/2)_-^xe dt=_-^x(t)dt, где Ф(x) – интегральная ф-ция Гаусса. (x)=Ф’(x) (производная от интегр. ф-ции). Выразим _a^b(x)dx через Ф(x): график интегр. ф-ции Гаусса:

_a^b(x)dx=_-^b(x)dx-_-^a(x)dx=Ф(b)-Ф(a). Интегральная теорема Муавра-Лапласа может быть записана так (через интегральную ф-цию Гаусса): Ф(b)-Ф(а). p{a<(_n-np/npq)<=b}Ф(b)-Ф(а). Применим теорему к вычислению суммы: p{k₁<=_n<=k₂}=_k=k1^k2C_n^kp^kq^n-k=p{(k₁-np/npq)<= (_n-np/npq)<= (k₂-np/npq)}Ф((k₂-np/npq))-Ф((k₁-np/npq)). Значения интегральной ф-ции Гаусса (дифференц. ф-ции Гаусса) при всех допустимых значениях аргумента X можно найти в любом учебнике по теорверу.