- •1. Случайные события и действия над ними.
- •2. Алгебра событий.
- •3. Вероятность события. Свойства вероятности.
- •4. Теорема сложения вероятностей.
- •5. Условная вероятность.
- •6. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •7. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
- •8. Случайная величина. Определение. Пример.
- •9. Функция распределения случайной величины.
- •10. Свойства функции распределения.
- •11. Случайные величины дискретного типа.
- •12. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •13. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойство дисперсии.
- •14. Производящая функция дискретной случайной величины.
- •15. Формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины через производящую функцию.
- •16. Схемы испытаний Бернулли.
- •17. Биномиальное распределение.
- •18. Математическое ожидание, дисперсия и производящая функция биномиальной случайной величины.
- •19. Мода биномиального распределения.
- •20. Распределение Пуассона.
- •21. Предельная теорема Пуассона.
- •22. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •23. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •24. Дифференциальная и интегральная функции Гаусса.
- •25. Закон больших чисел в схеме Бернулли.
- •26. Непрерывные случайные величины. Свойство плотности распределении.
- •27. Равномерное распределение.
- •28. Нормальное распределение.
- •29. Показательное распределение.
- •31. Мода непрерывной случайной величины.
- •32. Медиана непрерывной случайной величины.
- •33. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •39. Двумерные непрерывные случайные величины.
- •40. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •41. Коэффициент ковариации и его свойства.
- •42. Коэффициент корреляции и его свойства.
- •43. Виды сходимости последовательности случайных величин.
- •44. Неравенство Чебышева.
- •45. Закон больших чисел для сумм независимых случайных величин.
- •46. Центральная предельная теорема теории вероятности.
- •47. Метод наименьших квадратов
- •48. Линейная среднеквадратическая регрессия
- •49. Генеральная совокупность. Случайная выборка. Вариационный ряд.
- •50. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко.
- •51. Выборочное среднее значение и выборочная дисперсия. Сходимость к теоретическим значениям.
- •52. Выборочный коэффициент ковариации.
- •53. Выборочный коэффициент корреляции.
- •54. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормального распределения.
- •55. Критерий x2.
- •5 6. Понятие случайного процесса. Определение и примеры
- •57. Марковские процессы. Переходные вероятности
- •58. Теорема Колмогорова-Чепмена для переходных вероятностей
- •59. Дифференциальные уравнения Колмогорова для переходных вероятностей
- •60. Уравнения Колмогорова в стационарных режимах
16. Схемы испытаний Бернулли.
Предположим, что мы имеем случайные эксперимент (испытание), в рез-те кот. может появиться или нет событие А. Если событие А происходит, то будем говорить, что имеет место успех, а если событие А не происходит, то имеет место неудача - . => Имеем эксперимент с 2мя исходами: А и . p – вер-ть события А: p=p(A), тогда p( )=1-p. p+q=1 => q=1+p. Предположим, что мы повторяем независимым образом данный эксперимент n раз, т.е. исходы в каждом эксперименте не влияют на др. Такую последовательность независ. испытаний назыв. схемой Бернулли. Пример: бросаем монету: если мы подбросим монету n раз, то это и будет схема Бернулли. Пусть n – число успехов в n-независимых испытаниях. n принимает значения 0,1,2,…,n: n{0,1,2,…,n}: {n=0} – при n независ. испытаний не было ни одного успеха; {n=1} – при n независ. испыт. был 1 успех; …; {n=n} – все успешны. Введем с.в.д.т. X: Xi={1, если в i-ом испыт. успех (А); 0, если в i-ом испыт. неуспех ( )? ш=1,2,…,n. X1+X2+…+Xn=n; с.в., которые принимают значения 0 или 1, типа Xi, назыв. индикаторными. Зададим ее з-н распределения: Xi
1 |
0 |
p |
q |
p=p(Xi=1)=p(A)=p, i=1,2,..,n. Все испыт. независимы друг от друга => их исходы тоже не зависят друг от друга => x1,x2,…,xn тоже можно считать независимыми. q=p(Xi=0)=p( ).
17. Биномиальное распределение.
Пусть имеем: n[значения с.в./вер-ть, с кот. величина принимает эти значения]
0 |
1 |
… |
n |
? |
? |
? |
? |
Введем з-н: p{n=k}=?, k=0,1,…,n. Первый исход: {11100…110}-n, k-фиксировано, означает число успехов => “1”=k => “0”=n-k. Всего последовательностей Cnk. Вер-ть отдельной последовательности: pkqn-k. p{n=k}=Cnkpkqn-k, тогда:(*) n
0 |
1 |
… |
n |
Cn0p0qn-0 |
Cn1p1qn-1 |
… |
Cnnpnq0 |
Случ. величина n, принимающая значения 0,1,2,…,n с вер-тью p{n=k}=Cnkpkqn-k, где 0<p<1, q=1-p, назыв. бернуллиевской случ. величиной, а з-н ее распределения:(*) назыв. биномиальным з-ном распределения.
18. Математическое ожидание, дисперсия и производящая функция биномиальной случайной величины.
Вычислим мат.ожид. и дисперсию биномиальной с.в.: по определению n=E(x1+x2+…+xn), по св-ву мат.ожид.: En=E(x1+x2+…+xn)=Ex1+Ex2+…+Exn => Exi=1p+0q=p – мат.ожид. xi, i=1,2,…,n. n=Ex1+Ex2+…+Exn=p+p+…+p=np => En=np. Дисперсия: Dn=D(x1+x2+…+xn)=Dx1+Dx2+…+Dxn=Dxi=Exi2-(Exi)2=p-p2=p(1-p)=pq. Dn=pq+pq+…+pq=npq. =Dn=npq – среднее квадратич. отклонение. Производящая ф-ция биномиальной с.в.: n(z)=(q+pz)n. Док-во: ?
19. Мода биномиального распределения.
Биномиальное распределение принимает множ-во значений, среди кот. есть наиболее модное. Модой распределения с.в.д.т. назыв. то ее значение из всех возможных, кот. она принимает с наибольшей вер-тью: X
x1 |
x2 |
… |
xk0 |
… |
xn |
p1 |
p2 |
… |
pk0 |
… |
pn |
Среди чисел 2го ряда отыскивается наибольш. число: pmax=max1<=k<=npk=pk0, k0 – тот номер, при кот. pk0=max, pk0 соответств. значение xk0, оно и называется модой. Определим моду биномиальн. с.в.: Теорема: пусть k0 – мода биномиальн. распределения, тогда справедливо нер-во: np-q<=x0<=np+p, x0np. np(1-(1/np))<=x0<=np(1+(1/n)). (q/np)->0, n->, 1/n<=1/100, n>=100. Док-во: по определ. моды: p{n=k0}>=p{n=k}, k=1,2,2,…,n. Предположим, что k00, k0n, тогда: p{n=k0}>=p{n=k0-1}; p{n=k0}>=p{n=k0+1}; Cnk0pk0qn-k0>=Cnk0-1pk0-1qn-(k0-1); Cnk0pk0qn-k0>=Cnk0+1pk0+1qn-(k0+1)(*). Cnk0=n!/k0!(n-k0)!; Cnk0-1=n!/(k0-1)!(n-k0n)!. В нер-вах (*) сократим общие сомножители, в рез-те этих сокращений 1 и 2 нер-ва перейдут в нер-ва: {p/k0>=q/(n-k0+1); q/(n-k0)>=p/(k0+1) => {p(n-k0+1)>=k0q (1); q(k0+1)>=p(n-k0) (2). Рассмотрим (1): np-pk0+p>=k0q; np+p>=k0q+pk0; np+p>=k0(q+p); np+p>=k0. Из (2) => np-q>=k0. Получаем: np-q<=x0<=np+p, ч.т.д.