44. Неравенство Чебышева.

З-н больших чисел: S_n=x₁+x₂+…+x_n – сумма; =(1/n)S_n – среднее значение суммы; m_i=EX_i, i=1,2,…,n; =(1/n)(m₁+m₂+…+m_n) – среднее знач. мат.ожид.; - случайное среднее, - неслучайное. Пос-ть с.в. {x_n} при n удовлетвор. з-ну больших чисел, если для любого достаточно малого числа (>0) выполняется соотношение: lim_np{| - |<=}=1(*) – сходимость по вер-ти, | - | - разность будет сколь угодно мала => E = . Перепишем соотношение (*) иначе: p{| - |<=}+p{| - |>}=1, [| - |<=]-А, [| - |<]- ( A=). p{| - |>}=1-p{| - |<=}, lim_np{| - |>}0 (**). Условия для случ. величин x₁,x₂,…,x_n, для кот. выполняется з-н больших чисел. Теорема Маркова: последов-ть с.в. x₁,x₂,…,x_n при n удовлетвор. з-ну больших чисел, если выполн. соотношение: lim_n(D(S_n)/n²)=0, S_n=x₁+x₂+…+x_n. При этих условиях справедлив з-н больших чисел. Теорема Чебышева: с.в. x₁,x₂,…,x_n удовл. з-ну больших чисел, если эти случ. велич. независимы и дисперсия каждой случ. величины огранич. некоторой константой L: D(x_i)<=L, i=1,2,…,n. Теорема (нер-ва Чебышева): с.в. X, X>=0, такая, что мат.ожид. сущ. EX<, тогда для любого числа t>0 справедливо нер-во: p(x>t)<=EX/t. Док-во теоремы Маркова: возьмем (**): p{| - |>}=[x=| - |², t=²]<=(E| - |²)/²=D(S_n)/²n²0 (***), т.к. D(S_n)/n²0. E| - |²=E((1/n)_i=1ⁿx_i-(1/n) _i=1ⁿm_i)²=E((1/n)_i=1ⁿ(x_i-m_i))²=(1/n²)E(_i=1ⁿ(x_i-m_i))²=(1/n²)D(S_n), ч.т.д. Док-во теоремы Чебышева: D(S_n)=_i=1ⁿD(x_i)<= _i=1ⁿL=nL, тогда в соотношении (***): D(S_n)<=nL, p{| - |>}<=L/n0, ч.т.д.

45. Закон больших чисел для сумм независимых случайных величин.

З-н больших чисел: S_n=x₁+x₂+…+x_n – сумма; =(1/n)S_n – среднее значение суммы; m_i=EX_i, i=1,2,…,n; =(1/n)(m₁+m₂+…+m_n) – среднее знач. мат.ожид.; - случайное среднее, - неслучайное. Пос-ть с.в. {x_n} при n удовлетвор. з-ну больших чисел, если для любого достаточно малого числа (>0) выполняется соотношение: lim_np{| - |<=}=1(*) – сходимость по вер-ти, | - | - разность будет сколь угодно мала => E = . Перепишем соотношение (*) иначе: p{| - |<=}+p{| - |>}=1, [| - |<=]-А, [| - |<]- ( A=). p{| - |>}=1-p{| - |<=}, lim_np{| - |>}0 (**). Условия для случ. величин x₁,x₂,…,x_n, для кот. выполняется з-н больших чисел.

46. Центральная предельная теорема теории вероятности.

x₁,x₂,…,x_n явл. послед-тью независ. одинаково распредел. с.в. (т.е. одна и та же ф-ция распределения). F_x1(x)=p{x₁<x}, F_x1(x)=F_x2(x)=F_x3(x)=…=F_xn(x). EX₁=m – мат.ожид. DX=E(x₁-m)²=² – дисперсия. S_n=x₁+x₂+…+x_n: Y_n=(1/(n))_i=1ⁿ(x_i-m). F_Yn(x) – вер-ть того, что Y_n<x, F_Yn(x)=p{Y_n<x}, xR.  - стандартн. нормальн. с.в. E=0, D=1, F_(x)=p{<x}=Ф(x)=(1/2)_-^xe dt. Теорема (ЦПТ): если n, тогда max по всем x = max_x|F_Yn(x)-F_(x)|0, или lim_np{Y_n<x}=Ф(x), xR. n => p{Y_n<x}Ф(x).

47. Метод наименьших квадратов

!!!(X,Y)-сл-й в-р, g(x)-нек-я ф-я от сигн-а Х,

E(Y-g(X))² выб-т такую ф-ю g(x)б чтобы это было мин-м. Эта проц-ра опр-я ф-ии g(x) наз-ся методом наим-х кв-в. Ф-я g, на к-й дост-ся этот мин-м, наз-ся оценкой, пол-й по мет-у наим-х кв-в.