3. Вероятность события. Свойства вероятности.

Рассмотрим некоторый случайный эксперимент: F-поле событий; А - случайное событие, АF. Например, бросаем монету, А – выпал орел, =\A – выпала решка. Фиксируем событие А, фиксируем целое число n и повторяем наш эксперимент n раз и следим за событием А: {АА … АА А} – n-символов. Сосчитаем сколько раз произошло событие А: K_n(A) – число наступлений событий А в n испытаний. p_n(A)=K_n(A)/n – относительная частота наступления события А в n испытаниях по отношению к общему числу испытаний n. K_n(A) – частота наступления события А в n испытаний. Отметим св-ва относительной частоты: 1. для любого события А из F:  АF: 0<=p_n(A)<=1; 0<=K_n(A)<=n. 2. p_n()=0 (p_n()=K_n()/n=0/n=0; K_n() – событие не происходит), p_n()=1 (p_n()=K_n()/n=n/1=1; K_n() – всегда наступало достоверное событие), p_n()<=p_n(A)<=p_n():  АF. 3. A,BF, AB= (несовместимы): p_n(AB)=p_n(A)+p_n(B). Вероятность возникает из отношения общего числа испытаний к числу благоприятствующих опытов. Основной проблемой при решении задач, если использовать формулу классической вероятности, является подсчет числа способов, которыми могло произойти то или иное событие. В связи с этим такие задачи решаются методами комбинаторики. Часто используется следующее очевидное правило (основной принцип комбинаторики): если некий выбор A можно осуществить m различными способами, а некоторый другой выбор B можно осуществить n способами, то выбор A и B (A или B) можно осуществить mn(m + n) способами. При этом классическое определение вероятности можно дать другими словами: рассмотрим эксперимент, имеющий N одинаково возможных исходов (любой мыслимый результат эксперимента называется элементарным событием). Предположим, что событию A благоприятствует n из этих исходов (оно состоит из n элементарных событий). Тогда справедлива формула классической вероятности. Есть эксперимент, с которым мы связали поле событий F, эл-тами поля явл. набор случ. событий, тогда вероятностью на поле событий F назыв. ф-ция p, кот. каждому событию А из поля F ставит в соответствие число p(A), кот. удовлетворяет следующим аксиоматическим св-вам: 1.  АF: 0<=p(A)<=1; 2. p()=0, p()=1; 3. A₁,A₂,…,A_nF, A_iA_j=, ij, тогда p(A₁A₂…A_n)=p(A₁)+p(A₂)+…+p(A_n); 4. A₁,A₂,…,A_n,…: A₁A₂…A_nA_n+1…; } P(A_n)0, n - аксиома непрерывности в-ти.

Основные св-ва в-ти: 1. пусть А – событие из поля F, - противоположное событие, тогда = \A => p( )=1-p(A) (в-ть противоположного события = 1 - в-ти события). Док-во: =A ( A =); n=2, A₁=A, A₂= } p()=p(A)+p( ) => 1=p(A)+p( ) => p( )=1-p(A), ч.т.д. 2. {,F,p} – вероятностное пространство:  - пространство элементарных событий, ={}, где  – элементарное событие; F – алгебра событий; p – вер-ть событий. 3. пусть имеется B₁,B₂,…, B_nF, кот. обладает следующ. св-вами: 1. B_iB_j=, ij – попарная несовместимость; 2. B₁B₂…B_n= (хотя бы 1 всегда наступит) - полная группа событий: p(B₁B₂…B_n)=p(B₁)+p(B₂)+…+p(B_n)=p()=1.

Геометрическая в-ть: S() – площадь квадрата, А – подмножество , S(A) – площадь мн-ва А: p(A)=S(A)/S().