48. Линейная среднеквадратическая регрессия

Регрессией Y на X и X на Y назыв. условное мат.ожидание E(Y|X=x) и E(X|Y=y) соответственно. Ф-ция (x)=E(X|X=x), ψ(y)=E(Y|Y=y) назыв. ф-циями регрессии Y на X и X на Y соответственно. Графики этих ф-ций назыв. кривыми регрессии. Ф-ции регрессии при случайных значениях аргументов есть с.в. (X), ψ(Y). Справедливы рав-ва: E(X)=EY; Eψ(Y)=EX. Часто возникает задача нахождения ф-ции f(x), такой чтобы с.в. f(X) являлась наилучшим приближением для с.в. Y. Под наилучшим приближением, как правило, понимают наилучшее в среднеквадратичном приближении, т.е. такое, при кот. величина E(Y-f(X))² достигает min-возможного значения. Такая задача возникает, например, в случае, когда X – сигнал на выходе некоторого технического устройства, а Y – сигнал на выходе. Требуется наилучшим образом восстановить зависимость Y=f(X). Можно док-ть, что решением задачи является ф-ция f(x)=E(Y|X=x), т.е. есть регрессия Y на X. Однако часто интерес представляет наилучшее приближение Y линейной ф-цией X. В этом случае min величины E(Y-f(x))² ищется в классе не всех, а только линейных ф-ций, т.е. ф-ций вида f(x)=kx+b: min_k,bRE(Y-kX-b)². Обозначим EX=a_x, EY=a_y, DX=_x², DY=_y², r_XY=r(X,Y). Минимизируя ф-цию E(Y-kX-b)²=_y²+k²_x²+(a_y+ka_x-b)²-kr_XY_x_y по переменным k и b с использованием методов дифференциального исчисления можно показать, что min в min_k,bRE(Y-kX-b)² достигается при: k=r_XY(_y/_x), b=a_y-a_xr_XY(_y/_x). Получаемая при этом линейная ф-ция: f(X)=kX+b=a_y+r_XY(_y/_x)(X-a_x), называется линейной средней квадратической регрессией Y на X, а прямая с уравнением: y=a_y+r_XY(_y/_x)(x-a_x) – прямой средней квадратической регрессии Y на X.

49. Генеральная совокупность. Случайная выборка. Вариационный ряд.

X – с.в., F_x(x) – ф-ция распределения, f_x(x) – плотность распределения. Если мы знаем или F_x(x) или f_x(x), то мы можем вычислить все хар-ки X, но как определить з-н F_x(x)=?. В статистике есть прием: наблюдают с.в., делают измерения x₁,x₂,…,x_n, кот. связаны с X (=> они хар-ют эту величину). Наука о принятии решений на основе наблюдений x₁,x₂,…,x_n относительно з-на распределения F_x(x) или же др. хар-к с.в. X, назыв. мат.статистикой. Статистика – сбор данных, их анализ и обработка и после принятие решений. x₁,x₂,…,x_n – инф. о с.в. X. Мат.статистика по наблюдениям говорит о хар-ках с.в. (обратная задача). Генеральная (общая) совокупность: под. г.с. будем понимать мн-во всех возможных значений с.в. X. Отдельные наблюдения над с.в. X, обозначаемые x₁,x₂,…,x_n назыв. выбороч. значениями или просто выборкой объема n из г.с. {x}. Число n наблюдений назыв. объемом выборки. Имеем: x₁,x₂,…,x_n с одинак. ф-цией распределения F_x(x). Расположим исходные величины x₁,…,x_n в порядке возрастания: x_n1<=x_n2<=…<=x_nn (*). Члены ряда (*) назыв. порядковыми статистиками, а сам ряд назыв. вариационным рядом. x_n1=min{x₁,x₂,…,x_n}, x_nn=max{x₁,x₂,…,x_n}. x_n1<=x_ni<=x_nn, i=2,3,…,n-1. W_n=x_nn-x_n1 – размах выборки – разность между max и min значениями. Пусть x₁,x₂,…,x_n выборка объема n из г.с., статистикой Т мы будем называть некоторую ф-цию от этих наблюдений: Т=Т(x₁,x₂,…,x_n). В теории мат.стат. все решения представляют собой некотор. статистику, т.е. некотор. ф-цию от выборки, предлагаемую для решения с помощью того или иного критерия выбора. Статистику Т иногда еще назыв. оценкой неизвестных параметров.