- •1. Случайные события и действия над ними.
- •2. Алгебра событий.
- •3. Вероятность события. Свойства вероятности.
- •4. Теорема сложения вероятностей.
- •5. Условная вероятность.
- •6. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •7. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
- •8. Случайная величина. Определение. Пример.
- •9. Функция распределения случайной величины.
- •10. Свойства функции распределения.
- •11. Случайные величины дискретного типа.
- •12. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •13. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойство дисперсии.
- •14. Производящая функция дискретной случайной величины.
- •15. Формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины через производящую функцию.
- •16. Схемы испытаний Бернулли.
- •17. Биномиальное распределение.
- •18. Математическое ожидание, дисперсия и производящая функция биномиальной случайной величины.
- •19. Мода биномиального распределения.
- •20. Распределение Пуассона.
- •21. Предельная теорема Пуассона.
- •22. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •23. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •24. Дифференциальная и интегральная функции Гаусса.
- •25. Закон больших чисел в схеме Бернулли.
- •26. Непрерывные случайные величины. Свойство плотности распределении.
- •27. Равномерное распределение.
- •28. Нормальное распределение.
- •29. Показательное распределение.
- •31. Мода непрерывной случайной величины.
- •32. Медиана непрерывной случайной величины.
- •33. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •39. Двумерные непрерывные случайные величины.
- •40. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •41. Коэффициент ковариации и его свойства.
- •42. Коэффициент корреляции и его свойства.
- •43. Виды сходимости последовательности случайных величин.
- •44. Неравенство Чебышева.
- •45. Закон больших чисел для сумм независимых случайных величин.
- •46. Центральная предельная теорема теории вероятности.
- •47. Метод наименьших квадратов
- •48. Линейная среднеквадратическая регрессия
- •49. Генеральная совокупность. Случайная выборка. Вариационный ряд.
- •50. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко.
- •51. Выборочное среднее значение и выборочная дисперсия. Сходимость к теоретическим значениям.
- •52. Выборочный коэффициент ковариации.
- •53. Выборочный коэффициент корреляции.
- •54. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормального распределения.
- •55. Критерий x2.
- •5 6. Понятие случайного процесса. Определение и примеры
- •57. Марковские процессы. Переходные вероятности
- •58. Теорема Колмогорова-Чепмена для переходных вероятностей
- •59. Дифференциальные уравнения Колмогорова для переходных вероятностей
- •60. Уравнения Колмогорова в стационарных режимах
50. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко.
Пусть x1,x2,…,xn выборка объема n из г.с., статистикой Т мы будем называть некоторую ф-цию от этих наблюдений: Т=Т(x1,x2,…,xn). В теории мат.стат. все решения представляют собой некотор. статистику, т.е. некотор. ф-цию от выборки, предлагаемую для решения с помощью того или иного критерия выбора. Статистику Т иногда еще назыв. оценкой неизвестных параметров. 1 оценка: эмпирическая ф-ция распределения: пусть xR, определим n(x) = число эл-тов выборки x1,x2,…,xn, кот. строго <x. 8(x) = 5; 8(y) = 2; 8(z) = 7; 8() = 4. (z)={1, z>0; 0, z<=0. z=x-xi. (x-xi)={1,x-xi>0 -> x>xi -> xi<x; 0, x-xi<=0 -> xi>=x. n(x)=i=1n(x-xi). Эмпирической ф-цией распределения, заданной на веществ. оси X и обозначающейся как Fn(x), назыв. следующая ф-ция: Fn(x)=n(x)/n. Если n представляет собой сачтоту выборочных значений, кот. <x, то эмпирич. ф-ция Fn(x) представляет собой относительнцю частоту на общее число. Св-ва: 1. Fn(x)>=0, т.к. min знач. n(x)=0; 2. Fn(x)<=1, т.к. n(x)<=n. График (*):
Fn(x)={0, x<=xn1; k/n, xnk<x<=xnm; 1, x>xmn. График ф-ции fn(x) есть ступенчатая ф-ция в точках разрыва, кот. совпадает с членами вариационного ряда. x – любая (.). в этой (.) берем знач. эмпирич. и теоретич. ф-ций; |Fn(x)-Fx(x)| - погрешность в (.) x, т.е. расст. между теоретич. и эмпирич. ф-циями. max-<x<|Fn(x)-Fx(x)|. Пусть n, тогда справедлива теорема Гливенко: если n, то max модуля разности стремится к 0 с вер-тью 1, т.е. имеет место сходимость эмпирич. ф-ции к теоретич. в смысле «почти наверное», «почти всюду». При n эмпирич. ф-ция распределения совпадает с теоретической. На графике (*) график эмпирич. ф-ции сойдется с теоретич. При больших n: Fx(x)Fn(x). С вер-тью 1 мы можем неизвестную ф-цию Fx(x) оценивать с помощью эмпирической. Обозначим Dn = max-<x<|Fn(x)-Fx(x)|. Калмагоров уточнил теорему Гливенко: пусть n, тогда в-ть того, что {(n)Dn<x}K(x), где K(x) – ф-ция Калмагора. K(x)={0, x<=0; k=-(-1)ke , x>0. p{(n)Dn<x}K(x).
51. Выборочное среднее значение и выборочная дисперсия. Сходимость к теоретическим значениям.
x1,x2,…,xn – рез-ты наблюдения; {x} – генеральная совокупность; Fx(x)=p{X<x}; EX=m – среднее значение генеральной совокупности (не случайная величина), DX=2 – дисперсия генеральной совокупности (неизвестная величина). Эмпирическим или выборочным средним значением назыв. величина, определяемая по ф-ле: =(1/n)(x1+x2+…+xn), где -случ. величина, n - объем ыборки. При определенных условиях выборочное среднее удовлетворяет з-ну больших чисел, если n. E =E((1/n)(x1+x2+…+xn)) = (1/n)(Ex1+Ex2+…+Exn) = (1/n)(m+m+…+m) = (nm)/n=m. E =m. Близость и m хар-ет з-н больших чисел: з-н больших чисел для : p{| -m|>}0, если n для >0, где -эмпирич. среднее, m – теоретич. среднее. Эмпирической или выборочной дисперсией S2 назыв. величина, кот. определяется по ф-ле: S2=(1/n)j=1n(xj- )2=(1/n)j=1n[xj2-( )2]. З-н больших чисел для S2: p{|S2-2|>}0, n, >0.