13. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойство дисперсии.
DX – дисперсия случ. величины X дискр. типа.: DX=E(X-EX)2=[EX=m]=E(X-m)2=k=1(xk-m)2pk. Геометрическая интерпретация дисперсии: хар-ет степень рассеивания (разброса) значений случ. величины относительно ее мат.ожидания. Чем меньше дисперсия, тем кучнее расположены значения случ. величины к среднему, тем меньше разброс значений. Если дисперсия велика – разброс большой.
Св-ва:
1. если X=const, X=C, то DX=0. Док-во: DX=E(X-m)2=E(C-C)2=E(0)2=0, ч.т.д.
2. для любой случ. величины X: DX>=0.
3. если a=const, а X – случ. величина дискр. типа, то дисперсия равна: D(aX)=a2DX. Док-во: D(aX)=E(aX-E(ax))2=E(aX-aEX)2=E(a(X-EX))2=E(a2(X-EX)2)=a2E(X-EX)2=a2DX, ч.т.д.
4. пусть b=const, X – с.в.д.т., тогда: D(X-b)=DX – сдвиг не влияет на значение дисперсии. Док-во: D(X-b)=E(X-b-E(X-b))2=E(X-b-EX+b)2=E(X-EX)2=DX, ч.т.д.
5(3+4). если a и b = const, X – с.в.д.т., то: D(aX-b)=a2DX.
6. пусть X,Y – независимые с.в., тогда: D(X+Y)=DX+DY. Док-во: D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+Y)]2=E[X+Y-EX-EY]2=E[(X-EX)+(Y-EY)]2= E(X-EX)2+2E(X-EX)(Y-EY)+E(Y-EY)2={2E(X-EX)(Y-EY)=(т.к. X,Y - независимые)=E(X-EX)E(Y-EY)=(EX-EX)(EY-EY)}=DX+DY, ч.т.д.
7. DX=EX2-(EX)2 (используется на практике). Док-во: DX=E(X-EX)2=E(X2-2XEX+(EX)2)=EX2-E(2XEX)+E(EX)2=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2=EX2-(EX)2, ч.т.д.
8. DX=k=1xk2pk-m2, где m=k=1xkpk. Док-во: по п.7: DX=EX2-(EX)2=EX2-m2; EX2=k=1xk2pk, ч.т.д.
Величина =DX
назыв. средним
квадратическим отклонением:
2=DX.
Если X
– с.в., EX
= m,
то
=X-m,
назыв. центрированной
величиной:
E
=0.
Случайная величина Z=(X-m)/
назыв. нормированной
с.в.: EZ=0,
а DZ=1.
14. Производящая функция дискретной случайной величины.
Возьмем следующую с.в. с законом распределения: X
0 |
1 |
2 |
… |
n |
… |
p0 |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
pn=p{X=n}, n=0,1,2,…
Для определения производящей ф-ции необходимо понятие комплексного числа: z=x(действительная часть)+iy(мнимая часть), i2=-1, |z|=x2+y2, |z|=1:
x(z)=Ezx, где x(z) – производящая ф-ция с.в. X. По определению мат.ожидания: x(z)=n=0(znpn). Если z=1, то x(1)=n=0pn=1. Смысл производящей ф-ции: полностью задает з-н распределения дискретн. с.в. данного типа. Для задания с.в.д.т. достаточно знать производящую ф-цию.
Св-ва:
1. pn=(1/n!)x(n)(0) – ф-ла связи.
2. если X и Y – независ. целочисленные с.в., то: X+Y(z)= X(z)+ Y(z). Док-во: X+Y(z)=EzX+Y=EzXzY=EzXEzY=X(z)Y(z), ч.т.д.
3. если целочисл. с.в. имеет мат.ожид. EX, то: x’(1)=EX.
4. если данная целочисл. величина имеет дисперсию, то: x’’(1)=EX2-EX и для дисперсии справедлива ф-ла: DX=x’’(1)+ x’(1)-(x’(1))2.
15. Формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины через производящую функцию.
Возьмем следующую с.в. с законом распределения: X
0 |
1 |
2 |
… |
n |
… |
p0 |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
pn=p{X=n}, n=0,1,2,…
Для определения производящей ф-ции необходимо понятие комплексного числа: z=x(действительная часть)+iy(мнимая часть), i2=-1, |z|=x2+y2, |z|=1:
x(z)=Ezx, где x(z) – производящая ф-ция с.в. X. По определению мат.ожидания: x(z)=n=0(znpn). Если z=1, то x(1)=n=0pn=1. Смысл производящей ф-ции: полностью задает з-н распределения дискретн. с.в. данного типа. Для задания с.в.д.т. достаточно знать производящую ф-цию.
Св-ва:
1. pn=(1/n!)x(n)(0) – ф-ла связи.
2. если X и Y – независ. целочисленные с.в., то: X+Y(z)= X(z)+ Y(z). Док-во: X+Y(z)=EzX+Y=EzXzY=EzXEzY=X(z)Y(z), ч.т.д.
3. если целочисл. с.в. имеет мат.ожид. EX, то: x’(1)=EX.
4. если данная целочисл. величина имеет дисперсию, то: x’’(1)=EX2-EX и для дисперсии справедлива ф-ла: DX=x’’(1)+ x’(1)-(x’(1))2.
Примеры производящих функций.
Дано: X
1 |
0 |
p |
1-p |
Мат.ожид.: EX=p;
Дисперсия: DX=p(1-p);
x(z)=Ezx=pz1+(1-p)z0=pz+1-p.