33. Основные виды взаимосвязей между показателями. Показатели взаимосвязи качественных переменных см 32 вопрос.
34. Определение параметров парной линейной регрессии
Наиболее простой случай корреляционной зависимости является парная корреляция – зависимость между двумя признаками (y и x). Уравнение такой связи называется парной линейной регрессией:
,
где y
– зависимая переменная, x
– факторный признак, α
– свободный коэффициент уравнения, β
– коэффициент регрессии: показывает,
на сколько изменится среднее значение
y
(
)
при увеличении x
на единицу.
Графическое представление парной линейной регрессии.
Парная регрессия легко определяется по графическому изображению реальных статистических данных в виде точек (корреляционное поле или диаграмма рассеивания).
Рис. 11.1. Графическое представление линии парной регрессии с МНК-параметрами
Метод наименьших квадратов.
Параметры α и β рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК) по данным об n значениях признаков x и y. Исходное условие МНК для парной регрессии имеет вид:
То есть МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от расчетных (теоретических) минимальна.
Чтобы найти минимум этой функции необходимо вычислить производные по каждому из параметров α и β и приравнять их к нулю:
Если первое уравнение разделить на n, то получится:
Решая систему уравнений далее, находится коэффициент регрессии β:
где
- среднее значение x,
- среднее значение y,
- среднее значение произведения xy,
- дисперсия показателя x.
Пример 11.2. По данным примера 11.1. определить параметры и построить график уравнения парной линейной регрессии, определить тесноту связи с помощью парного коэффициента корреляции.
, ,
,
Тогда уравнение
регрессии будет
.
Рис. 11.2. Уравнение парной регрессии и фактические данные
35. Оценка надёжности параметров парной линейной регрессии
Оценка надежности коэффициента проводится на основе t-критерия Стьюдента и заключается в установлении наличия линейной зависимости между y и x. Для этого проверяется гипотеза H0: =0 (гипотеза о несущественности коэффициента).
Выполняются следующие шаги:
1. Рассчитывается средняя ошибка параметра β:
,
где
– расчетные значения y
по уравнению парной регрессии.
2. Рассчитывается t-критерий Стьюдента
3. Выбирается уровень значимости (1%, 5% или 10%).
4. По таблицам распределения Стьюдента для заданного и n-2 определяем tкр – критическое значение критерия.
5. Если
,
то коэффициенту можно доверять с
вероятностью 100%-
и гипотеза H0
отклоняется. Иначе – гипотеза H0
принимается, и коэффициенту доверять
нельзя.
Пример 11.3. По данным примера 11.2. определить надежность параметра β с уровнем значимости 1%.
n |
X |
Y |
YT |
Y-YT |
(Y-YT)2 |
1 |
90,53 |
93,21 |
93,52 |
-0,31 |
0,10 |
2 |
90,22 |
93,8 |
93,25 |
0,55 |
0,30 |
3 |
99,41 |
100,32 |
101,28 |
-0,96 |
0,93 |
4 |
99,68 |
103,08 |
101,52 |
1,56 |
2,43 |
5 |
95,11 |
97,12 |
97,53 |
-0,41 |
0,16 |
6 |
95,4 |
99,64 |
97,78 |
1,86 |
3,46 |
7 |
94,24 |
95,88 |
96,76 |
-0,88 |
0,78 |
8 |
98,35 |
101 |
100,36 |
0,64 |
0,41 |
9 |
96,34 |
97,42 |
98,60 |
-1,18 |
1,39 |
10 |
99,34 |
100,36 |
101,22 |
-0,86 |
0,74 |
Итого |
958,62 |
981,83 |
- |
- |
10,72 |
1.
.
2.
.
3. =0,01.
4. По таблицам распределения Стьюдента для =0,01 и n-2=8 находится tкр=3,3554.
5. Следовательно, (7,8957>3,3554) и с вероятностью 99% значению коэффициента β можно доверять.