21. Ошибка выборки
Научным обоснованием случайных ошибок выборки являются теория вероятностей и ее предельные теоремы. Применительно к выборочному наблюдению пользуются теоремами русских математиков П.Л.Чебышева и A.M. Лягунова. Согласно этим теоремам с увеличением численности выборки размеры случайных ошибок сокращаются.
Различают среднюю и предельную ошибку выборки.
Средняя ошибка
– такое расхождение между средними
выборочной и генеральной совокупностями
(
),
которое не превышает
.
Средняя ошибка выборочной средней равна
,
где σ – среднее квадратическое отклонение признака, n – объем выборочной совокупности.
Доказано, что между и есть следующее соотношение
или
.
Предельная ошибка – максимально возможное расхождение этих средних, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.
Предельная ошибка выборочной средней равна
,
где t – нормированное отклонение, определяется по таблицам t-критерия Стьюдента исходя из числа наблюдений (n) и доверительной вероятности (90%, 95%, 99%).
При числе наблюдений более 200 для доверительной вероятности 90% t=1,645; 95% - 1,96; 99% - 2,576.
Отсюда предельные значения генеральной средней определяются как
.
Это означает, что с заданной вероятностью значение генеральной средней будет находиться указанных в пределах.
Пример. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятия была проведена случайная выборка 50 платежных документов, по которым средний срок перечисления денег оказался равен 28,2 дня со стандартным отклонением 5,4 дня. Определить средний срок прохождения всех платежей в течение данного года с доверительной вероятностью 0,95.
Скорректированная дисперсия равна
.
Средняя ошибка выборочной средней равна
дня.
Значение нормированного отклонения для доверительной вероятности 0,95 равно 1,96. Тогда, предельная ошибка выборочной средней равна
дня.
Предельные значения X
дня.
Таким образом, с вероятностью 95% средняя продолжительность расчетов предприятия с кредиторами составляет не менее 26,69 дня и не более 29,71 дня.
Ошибка выборки для выборочной относительной величины (доли) определяется аналогично. Дисперсия относительной величины
,
где p – доля тех или иных единиц в выборке.
Среде значение переменной
.
Средняя ошибка выборочной доли
Предельная ошибка выборочной доли
.
Пример . По данным выборочного изучения 100 платежных документов предприятия оказалось, что в шести случаях сроки расчетов с кредиторами были превышены. Требуется установить доверительный интервал доли платежных документов предприятия без нарушения сроков с вероятностью 0,95.
Доля документов без нарушения сроков
.
Средняя ошибка выборочной доли
.
Предельная ошибка выборочной доли
.
Доверительный интервал
или
.
22. Определение объёма выборки. Распространение данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность
Определение объема выборки
Объем выборки рассчитывается на стадии проектирования выборочного обследования. Для повторного отбора объем выборки равен
,
где Δ – допустимая погрешность, которая задается исследователем исходя из требуемой точности результатов проектируемой выборки;
t – табличное значение нормированного отклонения (определяется по таблицам t-критерия Стьюдента);
σ2 – генеральная дисперсия.
Генеральная дисперсия как правило неизвестна, поэтому ее оценивают следующим образом. Если известно примерное значение средней величины, то
.
Если известны xmax и xmin, то в соответствии с правилом «трех сигм»
.
Если распределение заведомо ассиметричное, то
.
Для относительной величины считают максимальную величину дисперсии
.
Для бесповторного отбора объем выборки равен
,
где
.
При больших размерах генеральной совокупности n незначительно отличается от n0.
Пример 7.7. Для изучения структуры и стоимости покупок в универмаге из 10000 покупателей следует отобрать то число человек, которое бы обеспечивало с вероятностью 0,99 (t=2,576) определение средней стоимости покупок с точностью не менее 50 руб. По прошлому обследованию дисперсия равна 62500.
человек,
человек.