18.Показатели размера вариации

Вариация – изменение значения признака при переходе от одной единицы совокупности к другой.

Для измерения вариации используются следующие показатели.

1. Размах вариации – показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения

R=x_max-x_min,

где x_max – максимальное значение признака,

x_min – минимальное значение признака.

2. Среднее линейное отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются значения признака от его среднего значения.

По несгруппированным данным

.

По сгруппированным данным

,

где k – число групп.

3. Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

По несгруппированным данным

.

По сгруппированным данным

.

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее не всегда удобно использовать, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. Поэтому рассчитывают среднее квадратическое отклонение.

4. Среднее квадратическое отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются значения признака от его среднего значения (обладает лучшими свойствами, чем среднее линейное отклонение).

По несгруппированным данным

.

По сгруппированным данным

.

Выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

5. Коэффициент вариации – показывает степень интенсивности вариации, однородность совокупности.

Совокупность считается однородной, если , где V_норм – нормативная величина коэффициента вариации (для разных совокупностей может колебаться от 1% до 30%).

6. Линейный коэффициент вариации – отношение среднего линейного отклонения к средней.

Пример. Распределение коров фермы по годовому удою молока.

Годовой удой молока от коровы, тыс. кг (xi)	Число коров, fi	Средняя величина признака	xi*fi
до 2	4	1,5	6	-1,3	5,2	1,69	6,76
2-3	2	2,5	5	-0,3	0,6	0,09	0,18
3-4	2	3,5	7	+0,7	1,4	0,49	0,98
4-5	1	4,5	4,5	+1,7	1,7	2,89	2,89
5 и более	1	5,5	5,5	+2,7	2,7	7,29	7,29
Итого	10		28		11,6		18,1

1) Средняя арифметическая тыс. кг.

2) Размах вариации R = 6 – 1 = 5 тыс. кг.

3) Среднее линейное отклонение тыс. кг.

4) Дисперсия тыс. кг².

5) Среднее квадратическое отклонение тыс. кг.

6) Коэффициент вариации - совокупность неоднородна.

7) Линейный коэффициент вариации .

Показатели вариации альтернативного признака.

Доля вариантов обладающих изучаемым признаком обозначается р, а доля вариантов не обладающих изучаемым признаком – q=1-p.

Средняя величина: .

Дисперсия: .

Пример. Совокупность новорождённых – 205 чел., девочки – 100 чел.

Доля девочек р = 100/205=0,488,

Доля мальчиков q = 105/205=0,512,

Дисперсия σ² = 0,488*0,512= 0,2498