44. Модель Леонтьева.

Постановка задачи. Рассматривается экон.система, состоящая из n отраслей. В каждой отрасли выпускается единственный продукт и в кажд.отрасли имеется единств.технология производства. Известно: кол-во прод-и кажд.отрасли, необходимой для текущего производ.потребления в любой отрасли при выпуске его ед-цы прод-ии, а так же конечная продукция кажд.отрасли. Треб-ся опред-ть валов.прод-ю кажд.отрасли. Усл.обозначения: n-кол-во отраслей, i-№ отрасли поставляющей продукцию, j-№ отрасли, потребляющей продукцию, аij-кол-во прод-и i-ой отрасли, необходимое для текущего производ.потребления в j-ой отрасли при выпуске j-ой отрасли ед-цы под-ии. Аij=xij/xj – коэф-нт прямых затрат, yi-конечная продукция i-ой отрасли, xij-ВП i-ой отрасли. Введем матрицы:

а11 а12 а1n

A= a21 a22 a2n это матрица из коэффициентов прямых затрат

an1 an2 ann

у1

У= у2 вектор конечной продукции

у3

х1

Х= х2 вектор ВП

хn

Математич.модель:

А11х1+а12х2+…+а1nxn+y1=x1

A21x1+a22x2+…+a2nxn+y2=x2

An1x1+an2x2+…+annxn+yn=xn

Запишем модель в векторно-матричной форме: Ах+У=х; Y=x-Ax; Y=x(E-A); (E-A)^-1Y=x(E-A)(E-A)^-1; x=(E-A)^-1Y-это матрица полных затрат, ее коэффициенты показывают, сколько нужно произвести продукции i-отрасли, чтобы была произведена ед-ца конечной продукции в j-ой области. Из экон.смысла коэффиц-в полных затрат следует, что все они неотрицательны. Введенные ранее коэф-ты прямых затрат аij хар-т непосредств.зат-ты прод-и I-ой отрасли при выпуске ед-цы прод-и в j-ой отрасли. Кроме прямых зат-т на произ-во ед-цы прод-и в j-ой отрасли осущ-ся косвенные зат-ты. Н-р, пусть одним из видов прод-ии пищевой пром-сти явл-ся хлеб. Для его производ-ва необ-мо мука, электоЕ, многое др., что использ-ся при выпечке хлеба. Это прямые зат-ты прод-ии для произв-ва хлеба. Для произ-ва муки необх-мо использовать зерно, Е, т.д.Эти затр-ты прямые при произ-ве муки и косвенные при произ-ве хлеба. Хлеб: электроЕ, мука: электроЕ, зерно: семена, машины. Для произ-ва зерна необх-мы семена, машины и др.виды прод-ии. Это прямые зат-ты прод-ии при пр-ве зерна и косв.1 порядка при пр-ве муки, а так же косв.зат-ты 2 порядка при произ-ве хлеба. Приведенную схему м.продолжить дальше. Полные зат-ты элЕ, при произ-ве ед-цы прод-и хлебопекарной пром-сти склад-ся из прямых зат-т всех порядков.

В15Связь между решениями прямой и двойственной задач

Теорема двойственности:1)Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и др. задача имеет оптимальный план и значение целевых ф-ции задач при оптимальных планах равны между собой:Fmax(X*)=F*min(Y*)

Если целевая ф-ция одной из задач не ограничена, то др. задача не имеет оптимальных планов, те несовместная система ограничений.2)(на примере симметрич. Пары взаимодвойственных задач)

F(X)=-X1+3X2-X3→MAX X*=(4,5,0,0,0,11) Fmax(X*)=11

3X1-X2+2Х3+Х4≤7

-2Х1+4Х2+Х5≤12

-4Х1+3Х2+8Х3+Х6≤10

Х1,Х2,Х3≥0

F*(Y)=7y1+12Y2+10y3→MIN

3y1-2y2-4y3-y4≥-1

-1y1+4y2+3y3-y5≥3

2y1+8y3-y6≥-1

План Х*=(Х*1,Х*2,Х*3,Х*4,Х*5,Х6)прямой задачи и план У*=(у*1,у*2,у*3,у*4,у*5,у*6)двойственной задачи являются оптимальными планами этих задач,тогда и только тогда, когда выполняются условия:х1*у4=0; х2*у5=0; х3*у6=0; у1*х4=0; у2*х5=0; у3*х6=0.

Алгоритм нахождения решения двойственной задачи по оптимальному решению двойственной задачи. 1. Приводят систему ограничений прямой и двойственной задач к канонич. Форме. 2. Составляют условия (смотри теорему 2) 3. Определяют переменные двойственной задачи принимающие в оптимальном плане нулевые значения у3;у4;у5=0 в двойственной задаче в оптимальном плане. 4. Удаляют из системы уравнений двойственной задачи переменные принимающие в оптимальном плане нулевые значения. 5 Решают полученную систему уравнений. 6. Проверяют выполнение равенства(смотри теорему 1)