7. Задача составления оптимальной смеси.

Постановка задачи.

Для составления смеси можно использовать n исходных материалов, в состав каждого из которых входят m различных компонентов.

Известно:

- содержание каждого компонента в единице каждого исходного материала.

- требуемое количество каждого компонента в смеси.

- цена за единицу каждого исходного материала.

Требуется отыскать наиболее дешевый набор из исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами.

Условные обозначения:

n – количество исходных материалов

j – порядковый номер вида исх.материала

m –количество компонентов

i – порядковый номер вида компонента

aij – содержание i–го компонента в единице j–го исходного материала

bi – min требуемое количество i-го компонента в смеси

сj – цена единицы j-го исходного материала

xj – количество j-го исходного материала в смеси

маленькие буквы в формулах большими!!!

Математическая модель:

F(X)=C1X1+C2X2+…+CnXnmin (1)

A11X1+A12X2+…+A1nXn > B1

A21X1+A22X2+…+A2nXn > B2 (2)

………………………

Am1X1+Am2X2+…+AmnXn > Bm

X1, X2, …, Xn >0 (3)

8 И 9. 8.Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования; 9.Графический метод решения задач линейного программирования.

Совокупность чисел Х=(Х1;Х2;…;Хn), удовлетворяющих ограничениям задачи, называется допустимым решением или допустимым планом.

План Х*=(Х1*;Х2*;…;Хn*), при котором целевая ф-я задачи принимает свое экстремальное значение, называется оптимальным.

Пусть задача задана в двумерном пространстве:

F(x)=c1x1+c2x2  max (1)

a11x1+a12x2 < b1

a21x1+a22x2 > b2 (2)

…………………..

am1x1+am2x2 < bm

x1>0, x2>0 (3)

(1)-целевая ф-я

(2)-система ограничений

(3)-условие неотрицательности

Каждое неравенство системы (2) определяет полуплоскость с граничной прямой.

ai1x1+ai2x2=bi (i=1;m)

Условие неотрицательности определяет полуплоскости с граничными прямыми х1=0 и х2=0 соответственно.

Если система условий задачи совместна, то полуплоскости пересекаясь образуют общую часть, называемую многоугольником решения.

Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником или неограниченной многоугольной областью. Внутри и на границе этой фигуры точки выделенной области – это допустимые решения задачи. Оптимальными решениями будут те из них, в которых целевая функция максимальна.

Уравнение целевой ф-ии c1x1+c2x2=h для любого фиксированного h, представляет собой прямую. При различных значениях h получатся параллельные между собой прямые. Направление увеличения h задается вектором с=(с1;с2), при этом последняя общая точка ф-ии и многоугольника решений и определяет оптимальный план задачи.

При других значениях коэффициентов целевой ф-ии угол наклона был бы другим и оптимальной могла бы быть другая точка многоугольника решений.

Из геометрического представления задачи линейного программирования видно, что для ее решения необходимо исследовать только вершины многоугольного множества – опорные планы задачи. Этот вывод сохраняется и при переходе к задачам с большим числом переменных, где вместо многоугольного рассматриваются многогранные множества допустимых решений.

Если допустимый многогранник неограничен, то возможны случаи:

1.Существует единственное решение задачи.

2.Существует бесчисленное множество решений, одно из которых совпадает с крайней точкой многоугольника.

3.Оптимального решения не существует, так как на точках допустимого множества можно получить как угодно большие значения целевой функции. –ф-я линейно не ограничена сверху.

4.Ограничения противоречивы и множество допустимых решений пустует.

в пп 1,2,3,4 есть графики!!!