Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений

4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам

,

,

где , ,

а якобиан

.

Начальные приближения и определяются приближенно (графически и т.п.).

Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.

Пример 4.1 Решить нелинейную систему уравнений в Mathcad с пятью верными знаками после запятой.

Преобразуем систему, выразив х из обоих уравнений.

Левые части уравнений исходной системы зададим в виде функций пользователя с двумя переменными.

Правые части преобразованной системы зададим в виде функций пользователя от переменной y. Построим их на графике.

Точка пересечения кривых на графике лежит в прямоугольнике

1.5<x<1.75 ;1.1<y<1.3. За начальное приближение корней системы

примем x=1.7 и y=1.3

Вычисления с помощью встроенных функций Mathcadа

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Рис.4.1. Решение примера 4.1 в Mathcad

4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(4.1)

с действительными левыми частями.

Можно записать систему в более компактном виде:

,

где , а .

Для решения системы будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено приближение на шаге p

,

где - поправки (погрешность корня).

Введем в рассмотрение матрицу Якоби системы функций относительно переменных :

Если эта матрица неособенная, т.е. , то поправка выражается следующим образом:

,

где - матрица, обратная матрице Якоби.

Таким образом, последовательные приближения находятся по формуле:

.

За нулевое приближение можно взять приближенное значение искомого корня.

Пример 4.2 Решить систему из примера 4.1

в Mathcad в векторной форме.

Левые части системы зададим векторной функцией

J(x,y) это якобиан системы

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Рис.4.2. Решение примера 4.2 в Mathcad

4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:

и требуется найти действительные корни системы с заданной степенью точности.

Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые , и определив координаты их точек пересечения.

Для применения метода итераций система приводится к виду:

Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами

,

где и - некоторое начальное приближение.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1 Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение системы. Если:

1. функции и определены и непрерывно дифференцируемы в R,

2. начальные приближения , и все последующие приближения, x_n ,y_n для n=1,2… принадлежат R,

3. в R выполнены неравенства

,

то процесс последовательных приближений сходится к решению системы, т.е.

.

Эта теорема останется верной, если условие 3 заменить условием

Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством

, (4.2)

где M – наибольшее из чисел , входящих в неравенства. Сходимость метода итераций считается хорошей, если , при этом .

Пример 4.3 Решить нелинейную систему уравнений методом итераций в Mathcad с точностью 0,005

Пусть дана система

Выразим из первого уравнения х, а из второго у и перепишем данную систему в виде:

Отделение корней произведем графически. Построим функции и на одном графике. Они имеют одну точку пересечения в области

D(0 < x < 0.25; -1.9 < y < -2.2) . Выберем за начальное приближение для метода итераций x0 = 0.25, y0 = -1.9

Проверим условие сходимости теоремы в области D(а < x < b; c < y < d)

Считать будем до тех пор, пока не достигнем нужной точности

В данном случае метод итераций сходится достаточно медленно, так как значение М близко к единице

Ответ: x=0.151 y=-2.034

Рис.4.3. Решение примера 4.3 в Mathcad